千葉大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第088回
この回のテストポイント
- 第1問：放物線の接線と囲まれた面積
- 第2問：対数の評価と部分積分
- 第3問：集合の包含と人数の計算
- 第4問：複素数の回転と正三角形
- 第5問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第6問：定義域のある二次関数とパラメータ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 放物線の接線と囲まれた面積（17点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-484)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）
第2問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le22\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第3問 集合の包含と人数の計算（17点）
110人のクラスで、集合Aの人数は66人、集合Bは44人、両方に属する人数は22人とする。
（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）
（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）
（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）
第4問 複素数の回転と正三角形（17点）
複素数平面で \(A=22,B=22i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。
（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）
（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）
第5問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（16点）
\(a_1=22,\ a_{n+1}=2a_n+22\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（8点）
第6問 定義域のある二次関数とパラメータ（16点）
\(0\le x\le 44\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+484\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（4点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（4点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=484\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
接点は \((\pm22,484)\)。底辺の長さは \(44\)、Pから底辺までの高さは \(968\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-22)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{22}(x-22)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<22\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 集合の包含と人数の計算
（1）
AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
全体から和集合の人数を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
和集合から共通部分を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 複素数の回転と正三角形
（1）
。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|B-A|=22\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+22=2(a_n+22)\) なので \(a_n+22=44\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(a_j/2^j=22(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+484-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-22\le t\le 22\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
判別式より \(t>22\) または \(t<-22\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>22\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(44)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(2420-88t\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。