第1問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-10)(x+10)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-10\) で極大、\(x=10\) で極小となる。

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a=2000\) では \(f(x)-a=(x-20)(x+10)^2\)。\(a=-2000\) では \(f(x)-a=(x+20)(x-10)^2\)。

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

。初めの差は \(10\) なので \(a_{n+1}-a_n=10^n\)。初項に差の和を加える。

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(10-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=10a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-10a_n=1\) を割る。

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(p=1/10,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

1回の表までの平均は \(10\) 回なので合計2回の表までの平均は \(20\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(20/\cos t\)、\(10/\sin t\)。面積は \(100/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(100\(1-x^2/400\)\)。\(-20\le x\le20\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<10\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=100\)。

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

接点は \((\pm10,100)\)。底辺の長さは \(20\)、Pから底辺までの高さは \(200\)。

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-10)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{10}(x-10)^2\,dx\)。

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。