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青山学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第063回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ（17点）

\(0\le x\le 20\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+100\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）

第2問　等差数列の一般項・和・境界（17点）

初項10、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）\(a_n\ge 30\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第3問　反射による経路の数え上げ（17点）

数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(20\) 回動かす。

（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（5点）

（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（5点）

（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（7点）

第4問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=10,B=10i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{10+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{10n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

第6問　合同な2円の交点と共通弦（16点）

中心O(0,0)、A(10,0)、半径がともに10の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（4点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+100-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}100&t\le0\\100-t^2&0<t<20\\500-40t&t\ge20\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-10\le t\le 10\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le10} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

判別式より \(t>10\) または \(t<-10\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>10\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(20)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(500-40t\)。

\[ \boxed{10<t\le \frac{25}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=10+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+9)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{11} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　反射による経路の数え上げ

（1）

右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(10\) 回。右への移動の位置を選ぶ。

\[ \boxed{184756} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(11\) 回、左が \(9\) 回なので \(\binom{20}{9}\) 個。全体から差し引く。

\[ \boxed{16796} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{20}{10}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/11\)。

\[ \boxed{\frac{1}{11}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=5(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=10\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=50\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{5}{3}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{10}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{10+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{10+j/n} \]

は \(g(x)=1/(10+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{10+x}\,dx=[\frac23(10+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(11\sqrt{11}-10\sqrt{10})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{10+x}\,dx=[\log(10+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{11}{10}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(5\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(5,5\sqrt{3}),\quad Q=(5,-5\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{10\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{25\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。