青山学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第077回
この回のテストポイント
- 第1問：二次方程式の解の符号
- 第2問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第3問：絶対値を含む面積の最適化
- 第4問：合同な2円の交点と共通弦
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 二次方程式の解の符号（25点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+144=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（11点）
第2問 非復元抽出の組合せと期待値（25点）
袋に赤玉24個、青玉12個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（7点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（7点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（11点）
第3問 絶対値を含む面積の最適化（25点）
\(0\le a\le12\) とする。\(0\le x\le12\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）
第4問 合同な2円の交点と共通弦（25点）
中心O(0,0)、A(12,0)、半径がともに12の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）
（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（7点）
（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-144)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
解の積は \(144\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le12\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(S'(a)=a^2-72\)。定義域内で \(a=12/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 合同な2円の交点と共通弦
（1）
PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(6\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。