J 受験ヒーロー

青山学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第076回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(12-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 27\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第2問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(12\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

第3問　対数の真数条件と単調性（25点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-12)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（7点）

（2）\(F(x)=\log_2 288\) を解きなさい。（7点）

（3）\(F(x)\le\log_2 288\) を解きなさい。（11点）

第4問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(72\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<12\)。\(x(12-x)=144/4-(x-12/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,144/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<12,\quad a\le\log_2 36} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 36:2\text{個};\quad a=\log_2 36:1\text{個};\quad a>\log_2 36:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(12-x)=27\) を解く。2つの解の和は \(12\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=3,\ 9} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{12}=176214841\)。全割当ては \(12!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{16019531}{43545600}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/12\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-12)=288\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=24} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{12<x\le24} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=72-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=72-2a,\quad 18<a<36} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=36(36-a)^2(2a-36)\)。微分すると \((S^2)'=216(36-a)(24-a)\)。存在範囲で \(a=24\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=24,\quad S_{\max}=144\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(36\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=36r\)。

\[ \boxed{r=4\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。