数学C｜平面上の曲線と複素数平面ドリル第05回（基礎確認）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

極方程式\(r=8\cos\theta\)を直交座標の式に直し、図形を説明しなさい。r≥0で表される点全体を考えます。

放物線\\(y^2=20x\\)の焦点と準線を求めなさい。

楕円\\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{1}=1\\)の長軸の長さと焦点を求めなさい。

双曲線\\(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{1}=1\\)の焦点と漸近線を求めなさい。

\(x=5\cos t,\ y=1\sin t\)（0≤t<2π）の媒介変数を消去し、曲線全体を表すか述べなさい。

解答・解説

rを掛けてr²=2ar cosθ。x²+y²=2axを平方完成します。原点も元の式で表される点です。

\boxed{(x-4)^2+y^2=16\quad\text{中心}(4,0)\text{、半径}4\text{の円}}

標準形y²=4pxでp=a。焦点(p,0)、準線x=−pです。

\boxed{(5,0),\quad x=-5}

x方向の半径が大きいので長軸はx軸方向。焦点距離は平方の差の平方根です。

\boxed{\text{長軸の長さ}12,\quad(\pm\sqrt{35},0)}

焦点は半軸の平方の和の平方根。漸近線はy=±(b/a)xです。楕円との符号の違いに注意します。

\boxed{(\pm\sqrt{26},0),\quad y=\pm \frac{1}{5}x}

x/a=cos t、y/b=sin tを平方して足します。1周期を動くので楕円全体を表します。

\boxed{\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{1}=1\quad\text{全体を表す}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____