数学II｜三角関数ドリル第25回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

鋭角θについてtanθ=\(\frac{2}{3}\)です。sin2θとcos2θを求めなさい。

0<θ<πでcosθ=\(\frac{5}{13}\)です。sin(θ/2)を求めなさい。

\(8\sin x+8\cos x\)をR sin(x+α)の形にし、最大値を求めなさい。0≤α<2πとします。

\(\sin(1x)=\frac12\)を\(0\le x<\frac{2\pi}{1}\)で解きなさい。

\(\cos(1x)\ge\frac12\)を\(0\le x<\frac{2\pi}{1}\)で解きなさい。

解答・解説

sin2θ=2tanθ/(1+tan²θ)、cos2θ=(1−tan²θ)/(1+tan²θ)を使います。

\boxed{\sin2\theta=\frac{12}{13},\quad\cos2\theta=\frac{5}{13}}

sin²(θ/2)=(1−cosθ)/2です。θ/2は第1象限なので正の平方根を取り、有理化します。

\boxed{\frac{2\sqrt{13}}{13}}

R=√(a²+a²)=a√2。cosα=sinα=1/√2なのでα=π/4です。

\boxed{8\sqrt2\sin(x+\frac\pi4),\quad\text{最大}8\sqrt2}

t=bxの範囲は0≤t<2π。t=π/6,5π/6を求め、bで割ります。

\boxed{x=\frac\pi{6},\quad\frac{5\pi}{6}}

単位円でcosが1/2以上の範囲を選び、引数の範囲と端点を確認してbで割ります。

\boxed{0\le x\le\frac\pi{3},\quad\frac{5\pi}{3}\le x<\frac{2\pi}{1}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____