数学II｜微分・積分の考えドリル第46回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(f(x)=x^3-27x\)の増減区間と極大・極小値を求めなさい。

\(\int\(4x^2+4x+1\)\,dx\)を求めなさい。

\(y=3x(3-x)\)とx軸で囲まれる面積を求めなさい。

直線\(y=x\)、x軸、直線\(x=-3\)、\(x=3\)で囲まれる2部分の面積の合計を求めなさい。

\\(y=x^2\\)、そのx=8での接線、y軸で囲まれる面積を求めなさい。

解答・解説

f'=3(x−a)(x+a)の符号は正・負・正。符号が変わる−aで極大、aで極小です。

\boxed{x<-3,x>3:\text{増加},\quad-3<x<3:\text{減少};\quad f(-3)=54,\ f(3)=-54}

各項の次数を1上げ、その次数で割ります。積分定数Cを忘れません。

\boxed{\frac{4}{3}x^3+2x^2+1x+C}

交点は0,b。その間はy≥0なので、そのまま0からbまで積分します。

\boxed{\frac{27}{2}}

x=0で符号が変わります。負の区間では−x、正の区間ではxを積分して足します。定積分の値そのものとは異なります。

\boxed{9}

接線はy=2ax−a²。放物線−接線=(x−a)²を0からaまで積分します。

\boxed{\frac{512}{3}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____