数学II｜微分・積分の考え ドリル第13回（定着練習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜導関数から関数を決める
\(f\prime(x)=4x+1,\ f(0)=1\)を満たすf(x)を求めなさい。
問題2｜微分係数
\(f(x)=x^2+2x\)のx=5での微分係数を、定義から求めなさい。
問題3｜導関数
\(f(x)=5x^3-2x^2+1x\)を微分しなさい。
問題4｜接線の方程式
\\(y=x^2\\)のx=4での接線を求めなさい。
問題5｜増減と極値
\(f(x)=x^3-48x\)の増減区間と極大・極小値を求めなさい。
解答・解説
解答1｜導関数から関数を決める
積分してax²+bx+Cとし、f(0)=cからC=cと決めます。
\[
\boxed{f(x)=2x^2+1x+1}
\]
解答2｜微分係数
(f(5+h)−f(5))/h=12+h。h→0の極限を取ります。
\[
\boxed{12}
\]
解答3｜導関数
各項に(x^n)'=nx^(n−1)を適用し、係数はそのまま掛けます。
\[
\boxed{f'(x)=15x^2-4x+1}
\]
解答4｜接線の方程式
接点(a,a²)、傾き2aからy−a²=2a(x−a)とします。
\[
\boxed{y=8x-16}
\]
解答5｜増減と極値
f'=3(x−a)(x+a)の符号は正・負・正。符号が変わる−aで極大、aで極小です。
\[
\boxed{x<-4,x>4:\text{増加},\quad-4<x<4:\text{減少};\quad f(-4)=128,\ f(4)=-128}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____