数学II｜式と証明 ドリル第46回（総合復習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜整式の除法
\\(x^2+3x+4\\)を\(x-1\)で割った商と余りを求めなさい。
問題2｜分数式の加法
\(\frac1{x-4}+\frac1{x+4}\)を簡単にしなさい。
問題3｜平方による不等式証明
実数x,yで\\(x^2+9y^2\ge 6xy\\)を証明し、等号成立条件を示しなさい。
問題4｜恒等式の係数比較
\((x+3)(x+3)=x^2+px+q\)が恒等式となるp,qを求めなさい。
問題5｜条件付き不等式
正の実数x,yで\(x+y=16\)のときxyの最大値を、等号条件とともに求めなさい。
解答・解説
解答1｜整式の除法
筆算で商を求めます。余りは割る式の次数より小さく、ここでは定数です。
\[
\boxed{Q=x+4,\quad R=8}
\]
解答2｜分数式の加法
共通分母(x−a)(x+a)に通分し、分子(x+a)+(x−a)=2xをまとめます。
\[
\boxed{\frac{2x}{x^2-16}\quad(x\ne\pm 4)}
\]
解答3｜平方による不等式証明
左辺−右辺=(x−ay)²≥0。等号は平方の中身が0のときに限ります。
\[
\boxed{x=3y\text{のとき等号}}
\]
解答4｜恒等式の係数比較
左辺を展開し、同じ次数の係数を比較します。任意のxで成立することが恒等式の条件です。
\[
\boxed{p=6,\quad q=9}
\]
解答5｜条件付き不等式
(x−y)²≥0より(x+y)²≥4xy。和を代入し、等号はx=yのときです。
\[
\boxed{xy\le 64,\quad x=y=8\text{で等号}}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____