数学II｜式と証明 ドリル第39回（総合復習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜分数式の約分
\\(\frac{x^2-64}{x-8}\\)を簡単にし、定義域も示しなさい。
問題2｜等式の証明
\(x+y=7\)のとき\\(x^3+y^3=343-21xy\\)を証明しなさい。
問題3｜相加相乗平均
x>0で\(x+\frac{49}x\)の最小値と等号条件を求めなさい。
問題4｜剰余定理
\(P(x)=x^3+2x+1\)を\(x-7\)で割った余りを求めなさい。
問題5｜3次式の展開
\((x+4)^3\)を展開しなさい。
解答・解説
解答1｜分数式の約分
分子を(x−a)(x+a)に因数分解します。約分しても元の分母が0となる値は除外します。
\[
\boxed{x+8\quad(x\ne 8)}
\]
解答2｜等式の証明
x³+y³=(x+y)³−3xy(x+y)にx+y=aを代入します。
\[
\boxed{\text{恒等式に条件を代入する}}
\]
解答3｜相加相乗平均
2項が正なので相加相乗平均を使えます。積がa²、等号はx=a²/xよりx=aです。
\[
\boxed{\text{最小値}14,\quad x=7}
\]
解答4｜剰余定理
剰余定理より余りはP(a)です。
\[
\boxed{358}
\]
解答5｜3次式の展開
(u+v)³=u³+3u²v+3uv²+v³を使います。
\[
\boxed{x^3+12x^2+48x+64}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____