数学II｜式と証明ドリル第38回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

正の実数x,yで\(x+y=8\)のときxyの最大値を、等号条件とともに求めなさい。

\(x^3-512\)を因数分解しなさい。

\\(x^2+7x+3\\)を\(x-1\)で割った商と余りを求めなさい。

\(\frac1{x-8}+\frac1{x+8}\)を簡単にしなさい。

実数x,yで\\(x^2+49y^2\ge 14xy\\)を証明し、等号成立条件を示しなさい。

解答・解説

(x−y)²≥0より(x+y)²≥4xy。和を代入し、等号はx=yのときです。

\boxed{xy\le 16,\quad x=y=4\text{で等号}}

立方の差u³−v³=(u−v)(u²+uv+v²)を使います。

\boxed{(x-8)(x^2+8x+64)}

筆算で商を求めます。余りは割る式の次数より小さく、ここでは定数です。

\boxed{Q=x+8,\quad R=11}

共通分母(x−a)(x+a)に通分し、分子(x+a)+(x−a)=2xをまとめます。

\boxed{\frac{2x}{x^2-64}\quad(x\ne\pm 8)}

左辺−右辺=(x−ay)²≥0。等号は平方の中身が0のときに限ります。

\boxed{x=7y\text{のとき等号}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____