数学II｜式と証明 ドリル第28回（定着練習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜相加相乗平均
x>0で\(x+\frac{4}x\)の最小値と等号条件を求めなさい。
問題2｜恒等式の係数比較
\((x+2)(x+2)=x^2+px+q\)が恒等式となるp,qを求めなさい。
問題3｜剰余定理
\(P(x)=x^3+2x+1\)を\(x-2\)で割った余りを求めなさい。
問題4｜3次式の展開
\((x+5)^3\)を展開しなさい。
問題5｜3次式の因数分解
\(x^3-125\)を因数分解しなさい。
解答・解説
解答1｜相加相乗平均
2項が正なので相加相乗平均を使えます。積がa²、等号はx=a²/xよりx=aです。
\[
\boxed{\text{最小値}4,\quad x=2}
\]
解答2｜恒等式の係数比較
左辺を展開し、同じ次数の係数を比較します。任意のxで成立することが恒等式の条件です。
\[
\boxed{p=4,\quad q=4}
\]
解答3｜剰余定理
剰余定理より余りはP(a)です。
\[
\boxed{13}
\]
解答4｜3次式の展開
(u+v)³=u³+3u²v+3uv²+v³を使います。
\[
\boxed{x^3+15x^2+75x+125}
\]
解答5｜3次式の因数分解
立方の差u³−v³=(u−v)(u²+uv+v²)を使います。
\[
\boxed{(x-5)(x^2+5x+25)}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____