数学II｜複素数と方程式ドリル第41回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(\frac{2+4i}{2-4i}\)を実部と虚部に分けなさい。

\\(x^2-6x+8=0\\)の解をα,βとして、α+β、αβ、α²+β²を求めなさい。

\(P(x)=x^3-8x^2+2x-16\)がx−8を因数にもつことを示し、因数分解しなさい。

\(x^4-(68)x^2+256=0\)を解きなさい。

\\(x^2-16x+k=0\\)が重解をもつkと重解を求めなさい。

解答・解説

分母・分子に分母の共役a+biを掛け、分母をa²+b²にします。

\boxed{-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i}

解の和と積を係数から読み、平方の和は(α+β)²−2αβで計算します。

\boxed{\alpha+\beta=6,\quad\alpha\beta=8,\quad\alpha^2+\beta^2=20}

P(a)=0を確かめると因数定理を使えます。商はx²+bです。

\boxed{P(x)=(x-8)(x^2+2)}

t=x²とおくと(t−a²)(t−b²)=0。最後にxへ戻し、2つの値が同じなら重複を除きます。

\boxed{x=\pm 8,\ \pm 2}

判別式を0にするとk=a²。そのとき(x−a)²=0です。

\boxed{k=64,\quad x=8}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____