数学II｜複素数と方程式ドリル第29回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(\frac{4+3i}{4-3i}\)を実部と虚部に分けなさい。

\\(x^2-8x+25=0\\)を複素数の範囲で解きなさい。

\\(x^2-7x+12=0\\)の解をα,βとして、α+β、αβ、α²+β²を求めなさい。

2つの解が4+3iと4−3iで、最高次の係数が1の2次方程式を作りなさい。

\(P(x)=x^3-3x^2+2x-6\)がx−3を因数にもつことを示し、因数分解しなさい。

解答・解説

分母・分子に分母の共役a+biを掛け、分母をa²+b²にします。

\boxed{\frac{7}{25}+\frac{24}{25}i}

(x−4)²=−9よりx−4=±3iです。

\boxed{x=4\pm 3i}

解の和と積を係数から読み、平方の和は(α+β)²−2αβで計算します。

\boxed{\alpha+\beta=7,\quad\alpha\beta=12,\quad\alpha^2+\beta^2=25}

(x−α)(x−β)=0を展開します。共役な解なので係数は実数になります。

\boxed{x^2-8x+25=0}

P(a)=0を確かめると因数定理を使えます。商はx²+bです。

\boxed{P(x)=(x-3)(x^2+2)}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____