数学II｜複素数と方程式ドリル第20回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(z=8+2i\)の共役と、\(z\overline z\)を求めなさい。

\(\frac{7+2i}{7-2i}\)を実部と虚部に分けなさい。

\\(x^2-14x+53=0\\)を複素数の範囲で解きなさい。

\\(x^2-9x+14=0\\)の解をα,βとして、α+β、αβ、α²+β²を求めなさい。

2つの解が7+2iと7−2iで、最高次の係数が1の2次方程式を作りなさい。

解答・解説

共役は虚部の符号だけを変えます。積は実部の平方と虚部の平方の和です。

\boxed{\overline z=8-2i,\quad z\overline z=68}

分母・分子に分母の共役a+biを掛け、分母をa²+b²にします。

\boxed{\frac{45}{53}+\frac{28}{53}i}

(x−7)²=−4よりx−7=±2iです。

\boxed{x=7\pm 2i}

解の和と積を係数から読み、平方の和は(α+β)²−2αβで計算します。

\boxed{\alpha+\beta=9,\quad\alpha\beta=14,\quad\alpha^2+\beta^2=53}

(x−α)(x−β)=0を展開します。共役な解なので係数は実数になります。

\boxed{x^2-14x+53=0}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____