数学II｜複素数と方程式ドリル第14回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\\(x^2-6x+8=0\\)の解をα,βとして、α+β、αβ、α²+β²を求めなさい。

2つの解が4+2iと4−2iで、最高次の係数が1の2次方程式を作りなさい。

\(P(x)=x^3-3x^2+1x-3\)がx−3を因数にもつことを示し、因数分解しなさい。

\((x-3)\(x^2+1\)=0\)を複素数の範囲で解きなさい。

\(x^4-(10)x^2+9=0\)を解きなさい。

解答・解説

解の和と積を係数から読み、平方の和は(α+β)²−2αβで計算します。

\boxed{\alpha+\beta=6,\quad\alpha\beta=8,\quad\alpha^2+\beta^2=20}

(x−α)(x−β)=0を展開します。共役な解なので係数は実数になります。

\boxed{x^2-8x+20=0}

P(a)=0を確かめると因数定理を使えます。商はx²+bです。

\boxed{P(x)=(x-3)(x^2+1)}

積が0ならいずれかの因数が0。2次因数から虚数解を得ます。

\boxed{x=3,\ \pm 1i}

t=x²とおくと(t−a²)(t−b²)=0。最後にxへ戻し、2つの値が同じなら重複を除きます。

\boxed{x=\pm 3,\ \pm 1}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____