数学C｜数学的な表現の工夫（行列を含む）ドリル第37回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

頂点A,B,Cをもつ無向グラフで、辺AB、BCがあります。各辺の移動時間は4分です。頂点順A,B,Cの隣接行列を作り、AからCへの最短移動時間を求めなさい。

道路AB=8km、BC=2km、AC=11kmだけがある無向ネットワークです。AからCへの最短経路と距離を求めなさい。

売上が800万円から802万円へ増加しました。縦軸の最小値を799万円にすると大幅な増加に見えます。増加率を求め、表示上の注意を述べなさい。

【発展】A=\(\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}\)に対し、AB=BA=IとなるBを求めなさい。Iは対角成分が1で他が0の単位行列です。

【発展】A,B,Cの全ての2頂点間に辺がある無向グラフです。各辺の長さは4km。隣接行列Mの2乗の(A,B)成分を求め、その意味を説明しなさい。

解答・解説

直接の辺がある成分を1にします。AからCはBを経由する2辺なので2a分です。

\boxed{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix},\quad8\text{分}}

直行はa+b+c、B経由はa+b。c>0なのでB経由の方が短くなります。

\boxed{A\to B\to C,\quad10\text{km}}

増加率は増加量b÷元の売上100a×100%。軸を途中から始めると変化が大きく見えるため、目盛りや切断を明記します。

\boxed{\frac{1}{4}\%}

非対角成分を打ち消すよう符号を変えます。両方の順序で掛けて単位行列になることを確認できます。

\boxed{B=\begin{pmatrix}1&-4\\0&1\end{pmatrix}}

長さは辺の本数を指します。途中の頂点Cを経由するA→C→Bの1通り。距離2kmという意味ではなく、ここでの移動距離は2a kmです。

\boxed{(M^2)_{AB}=1\quad\text{AからBへの長さ2の歩道が1通り}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____