数学C｜数学的な表現の工夫（行列を含む）ドリル第33回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

【発展】A=\(\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)に対し、AB=BA=IとなるBを求めなさい。Iは対角成分が1で他が0の単位行列です。

【発展】A,B,Cの全ての2頂点間に辺がある無向グラフです。各辺の長さは2km。隣接行列Mの2乗の(A,B)成分を求め、その意味を説明しなさい。

在庫行列A=\(\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}\)、入荷行列B=\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)です。対応成分を足す定義でA+Bを求めなさい。

販売個数行列\(\begin{pmatrix}2&4\\4&2\end{pmatrix}\)の行はA店,B店、列はX,Y。単価列は(1,2)です。行と列の対応する積の和で、各店の売上を求めなさい。

頂点9個からなる無向の輪のグラフで、隣り合う頂点を辺で結びます。各頂点の次数と辺数を求めなさい。

解答・解説

非対角成分を打ち消すよう符号を変えます。両方の順序で掛けて単位行列になることを確認できます。

\boxed{B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}}

長さは辺の本数を指します。途中の頂点Cを経由するA→C→Bの1通り。距離2kmという意味ではなく、ここでの移動距離は2a kmです。

\boxed{(M^2)_{AB}=1\quad\text{AからBへの長さ2の歩道が1通り}}

同じ位置の成分を足します。行・列の分類が同じ在庫と入荷であることが必要です。

\boxed{\begin{pmatrix}3&6\\4&6\end{pmatrix}}

A店はa×c+b×(c+1)、B店はb×c+a×(c+1)。積の各行が各店舗の金額になります。

\boxed{\begin{pmatrix}10\\8\end{pmatrix}}

各頂点に2辺が接続。次数の合計2(a+2)は辺数の2倍になるので辺数はa+2です。

\boxed{\text{次数}2,\quad\text{辺数}9}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____