早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第099回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-113|+|x-118|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<113、113≦x≦118、x>118に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=5のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 座標・距離の2乗と最小値（20点）
A(0,113)、B(10,113)、P(t,0)とします。
（1）PA²+PB²をtの式で表しなさい。（4点）
（2）PA²+PB²の最小値と、そのときのPの座標を求めなさい。（6点）
（3）PA²+PB²がその最小値より50だけ大きくなるPの座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 直角三角形・斜辺上の点への距離（20点）
三角形ABCは∠A=90°、AB=339cm、AC=452cmです。AからBCに下ろした垂線の足をH、BC上でBP:PC=5:1となる点をPとします。
（1）BCとAHの長さを求めなさい。（4点）
（2）BHの長さを求め、用いた相似を示しなさい。（6点）
（3）AP²の値を求めなさい。（10点）
第4問 余り・連続する整数の公倍数（20点）
正の整数nを5で割ると余りは4、6で割ると余りは5です。
（1）最小のnを求めなさい。（4点）
（2）1≦n≦3389で条件を満たすnの個数を求めなさい。（6点）
（3）(2)で条件を満たすnの和を、両端を組み合わせる方法で求めなさい。（10点）
第5問 確率・戻さない抽出と情報による絞り込み（20点）
袋に赤玉113個、白玉5個があります。よく混ぜて同時に2個取り出します。どの2個の組も同様に確からしいとします。
（1）赤白1個ずつである確率を求めなさい。（4点）
（2）2個が同じ色である確率を求めなさい。（6点）
（3）「少なくとも1個は赤であった」と分かったとき、2個とも赤である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に231−2x、5、2x−231です。
答え：\(\boxed{231-2x,\ 5,\ 2x-231}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に5。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{113\leq x\leq118}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<5は解なし。k=5は中央全体。k>5は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<5:\text{解なし};\ k=5:113\leq x\leq118;\ k>5:x=\frac{231-k}{2},\frac{231+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
三平方よりPA²=t²+12769、PB²=(t−10)²+12769です。
答え：\(\boxed{2t^2-20t+25638}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
和は\(2(t-5)^2+25588\)。2乗は0以上なのでt=5で最小です。
答え：\(\boxed{25588,\ P=(5,0)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2(t−5)²=50よりt−5=±5。正負の両方を採ります。
答え：\(\boxed{(0,0),\ (10,0)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
三平方でBC=565。面積をAB×AC/2=BC×AH/2と表すとAH=\frac{1356}{5}です。
答え：\(\boxed{BC=565,\ AH=\frac{1356}{5}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABHと△CBAは直角と∠Bが等しいので相似。AB/BC=BH/AB、すなわちBH=AB²/BC=\frac{1017}{5}です。
答え：\(\boxed{\frac{1017}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
BP=\frac{2825}{6}。HP=|BP−BH|。三平方でAP²=AH²+(BP−BH)²を計算します。
答え：\(\boxed{\frac{5222521}{36}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
n+1は5と6の公倍数です。連続する整数は互いに素なので最小公倍数は30。n=30k−1、kは正の整数です。
答え：\(\boxed{29}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
上限より30k−1≦3389、つまり1≦k≦113。
答え：\(\boxed{113}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
初項29と末項3389の和は3418。先頭と末尾の順を逆にした列を足すと各項がこの値で、全体の2倍が113倍になります。
答え：\(\boxed{193117}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
全体は118×117/2=6903組。異色の組は113×5=565組です。
答え：\(\boxed{\frac{565}{6903}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤2個は113×112/2組、白2個は5×4/2組なので合計6338組です。
答え：\(\boxed{\frac{6338}{6903}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件に合う組は全体から白2個を除いた6893組。どれも元々等確率なので、そのうち赤2個の6328組の割合を求めます。
答え：\(\boxed{\frac{56}{61}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。