早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第098回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 定義された整数部分・不等式の境界（20点）
実数tに対し、t以下の最大の整数を[t]と書きます。[x]=113とします。
（1）xの範囲を不等式で表しなさい。（4点）
（2）[4x]のとり得る値をすべて求めなさい。（6点）
（3）[4x]=455となるxの範囲を求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=226cm、BC=8cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=452となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(226,0)、C(226,8)、D(0,8)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 平方数・範囲から整数を絞る（20点）
nは0≦n≦920を満たす整数で、\(\sqrt{n+12769}\)も整数です。
（1）根号の値がとり得る整数をすべて求めなさい。（4点）
（2）条件を満たすnをすべて求めなさい。（6点）
（3）条件を満たすすべてのnの和を求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から117までの整数を1個ずつ書いた117枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが4の倍数でも5の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが4の倍数または5の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが4の倍数または5の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
定義から113≦x<114です。
答え：\(\boxed{113\leq x<114}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
4倍すると452≦4x<456。この区間の各整数部分が実現します。
答え：\(\boxed{452,453,454,455}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
455≦4x<456を4で割ります。上端は含みません。
答え：\(\boxed{\frac{455}{4}\leq x<114}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=8よりS=4t。BC上では底辺AD=8、高さがAB=226で一定なのでS=904です。
答え：\(\boxed{S=4t\ (0\leq t\leq226),\ S=904\ (226\leq t\leq234)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の4t=452よりt=113。BC上の値は452より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{113}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって226秒から234秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{904,\ 226\leq t\leq234}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(226−x)²+64。整理して2×226x=51140です。横の長さが縦より大きいので0<x<226を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{12785}{113}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+64=(226−x)²。よってx=(51076−64)/(2×226)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{12753}{113}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は226、高さは8なので面積は226×8/2です。
答え：\(\boxed{904}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
根号の中は12769から13689までなので、平方根の整数値は113から117までです。両端を含みます。
答え：\(\boxed{113,114,115,116,117}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
根号の値をkとするとn=k²−12769。候補を順に代入します。
答え：\(\boxed{0,227,456,687,920}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
列挙した5個の値を足します。根号の整数性と範囲を満たす候補は(1)ですべて尽くしています。
答え：\(\boxed{2290}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は20の倍数で、5個です。
答え：\(\boxed{\frac{5}{117}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
4の倍数29個と5の倍数23個を足し、二重に数えた公倍数5個を1回引くと47個です。
答え：\(\boxed{\frac{47}{117}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は47個。このうち重なりの5個を除いた42個が一方だけです。
答え：\(\boxed{\frac{42}{47}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。