早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第084回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-110|+|x-115|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<110、110≦x≦115、x>115に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=5のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−110,12100)、B(110,12100)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−110<t<110を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{5}{6}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(220,0)、C(220,10)、D(0,10)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 整式の割り算・約数と最小値（20点）
5以上の整数nについて\(\frac{n^2+550}n\)が整数になります。
（1）nが満たす約数の条件を説明しなさい。（4点）
（2）可能なnをすべて求めなさい。（6点）
（3）与えられた式の最小値と、そのときのnをすべて求めなさい。（10点）
第5問 並べ方・隣接条件の余事象（20点）
A,Bを含む115人が無作為に横1列に並びます。すべての並び方は同様に確からしいとします。
（1）A,Bの位置を順序なしで選ぶ方法は何通りありますか。（4点）
（2）A,Bが隣り合う確率を求めなさい。（6点）
（3）A,Bが隣り合わないと分かったとき、間にちょうど5人いる確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に225−2x、5、2x−225です。
答え：\(\boxed{225-2x,\ 5,\ 2x-225}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に5。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{110\leq x\leq115}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<5は解なし。k=5は中央全体。k>5は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<5:\text{解なし};\ k=5:110\leq x\leq115;\ k>5:x=\frac{225-k}{2},\frac{225+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=220、高さ=12100なので面積は110³です。
答え：\(\boxed{1331000}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(12100−t²)/12100=5/6。よってt²=\frac{6050}{3}。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{110}{\sqrt{6}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=\frac{6050}{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(220−x)²+100。整理して2×220x=48500です。横の長さが縦より大きいので0<x<220を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{2425}{22}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+100=(220−x)²。よってx=(48400−100)/(2×220)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{2415}{22}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は220、高さは10なので面積は220×10/2です。
答え：\(\boxed{1100}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
式はn+550/nなので、nが整数なら残る550/nも整数であることが必要十分です。つまりnは550の正の約数です。
答え：\(\boxed{n\mid 550}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
550の正の約数を小さい順に調べ、5以上という条件を満たすものを挙げます。
答え：\(\boxed{5,10,11,22,25,50,55,110,275,550}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a+bでab=550です。(a+b)²=(a−b)²+2200だから、差の絶対値が最小の約数の組で最小になります。(2)の約数を比べると該当するnは[22, 25]です。
答え：\(\boxed{47,\ n=22,25}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
115個から2個の位置を選ぶので115×114/2=6555通りです。
答え：\(\boxed{6555}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
位置の組ごとに残りの人の並び方とA,Bの順序は同じ数なので、位置の組は等確率。隣接する組は114通りです。
答え：\(\boxed{\frac{2}{115}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
隣接しない位置の組は6441通り。間に5人なら位置の差が6で、109通りです。
答え：\(\boxed{\frac{109}{6441}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。