早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第056回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 共役な平方根・対称式（20点）
A=\(\sqrt{107}+\sqrt{105}\)、B=\(\sqrt{107}-\sqrt{105}\)とします。
（1）ABを求めなさい。（4点）
（2）A²+B²を求めなさい。（6点）
（3）A⁴+B⁴を求めなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−105,11025)、B(105,11025)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−105<t<105を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{2}{3}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は210cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=2:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 整数方程式・積への変形（20点）
整数x,yはx>105、y>105を満たし、\(xy=105(x+y)+(-11021)\)が成立します。
（1）(x−105)(y−105)の値を求めなさい。（4点）
（2）組(x,y)をすべて求めなさい。順序の異なる組は別とします。（6点）
（3）x+yの最小値と、そのときの組を求め、最小であることを示しなさい。（10点）
第5問 並べ方・隣接条件の余事象（20点）
A,Bを含む107人が無作為に横1列に並びます。すべての並び方は同様に確からしいとします。
（1）A,Bの位置を順序なしで選ぶ方法は何通りありますか。（4点）
（2）A,Bが隣り合う確率を求めなさい。（6点）
（3）A,Bが隣り合わないと分かったとき、間にちょうど2人いる確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
平方の差からAB=(107)−105です。
答え：\(\boxed{2}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(A+B)²−2ABを使います。A+B=2√107なので、4×107−2×2です。
答え：\(\boxed{424}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(A²+B²)²−2(AB)²に帰着します。\(424^2-2\times2^2\)。
答え：\(\boxed{179768}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=210、高さ=11025なので面積は105³です。
答え：\(\boxed{1157625}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(11025−t²)/11025=2/3。よってt²=3675。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{105}{\sqrt{3}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=3675}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:2です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(3)、△CEX=2u/(3)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:2なので[BCX]=2u、[BDX]=2u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(2u/2)=2:2です。
答え：\(\boxed{2:2}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は210/2。ADを2:2に分けるので[ABX]=(210/2)×2/(4)です。
答え：\(\boxed{\frac{105}{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{105}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
両辺に11025を加えて積にすると(x−105)(y−105)=4です。
答え：\(\boxed{4}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
x−105は4の正の約数[1, 2, 4]です。各約数dについてy−105=4/dとすれば、すべての解になります。
答え：\(\boxed{(106,109),\ (107,107),\ (109,106)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a=x−105、b=y−105とするとab=4。\((a+b)^2=(a-b)^2+16\geq16\)よりa+b≧4。等号はa=b=2で実現します。
答え：\(\boxed{214,\ (x,y)=(107,107)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
107個から2個の位置を選ぶので107×106/2=5671通りです。
答え：\(\boxed{5671}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
位置の組ごとに残りの人の並び方とA,Bの順序は同じ数なので、位置の組は等確率。隣接する組は106通りです。
答え：\(\boxed{\frac{2}{107}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
隣接しない位置の組は5565通り。間に2人なら位置の差が3で、104通りです。
答え：\(\boxed{\frac{104}{5565}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。