早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第054回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 定義された整数部分・不等式の境界（20点）
実数tに対し、t以下の最大の整数を[t]と書きます。[x]=104とします。
（1）xの範囲を不等式で表しなさい。（4点）
（2）[5x]のとり得る値をすべて求めなさい。（6点）
（3）[5x]=524となるxの範囲を求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=208cm、BC=10cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=520となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径109cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=104cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 整数方程式・積への変形（20点）
整数x,yはx>104、y>104を満たし、\(xy=104(x+y)+(-10791)\)が成立します。
（1）(x−104)(y−104)の値を求めなさい。（4点）
（2）組(x,y)をすべて求めなさい。順序の異なる組は別とします。（6点）
（3）x+yの最小値と、そのときの組を求め、最小であることを示しなさい。（10点）
第5問 確率と移動・最初に到達する時刻（20点）
袋に赤玉104個、白玉5個があります。数直線上の点Pは原点から出発し、袋から等確率で玉を1個引くたびに、赤なら右へ1、白なら左へ1進みます。玉は毎回袋に戻し、よく混ぜます。
（1）2回後に原点にいる確率を求めなさい。（4点）
（2）5回後の座標が-1である確率を求めなさい。（6点）
（3）座標2に初めて到達するのが4回目である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
定義から104≦x<105です。
答え：\(\boxed{104\leq x<105}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
5倍すると520≦5x<525。この区間の各整数部分が実現します。
答え：\(\boxed{520,521,522,523,524}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
524≦5x<525を5で割ります。上端は含みません。
答え：\(\boxed{\frac{524}{5}\leq x<105}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=10よりS=5t。BC上では底辺AD=10、高さがAB=208で一定なのでS=1040です。
答え：\(\boxed{S=5t\ (0\leq t\leq208),\ S=1040\ (208\leq t\leq218)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の5t=520よりt=104。BC上の値は520より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{104}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって208秒から218秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{1040,\ 208\leq t\leq218}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=11881−10816=1065。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{1065}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{\frac{11881}{104}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=11881(11881−10816)/10816。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{109}{104}\sqrt{1065}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
両辺に10816を加えて積にすると(x−104)(y−104)=25です。
答え：\(\boxed{25}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
x−104は25の正の約数[1, 5, 25]です。各約数dについてy−104=25/dとすれば、すべての解になります。
答え：\(\boxed{(105,129),\ (109,109),\ (129,105)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a=x−104、b=y−104とするとab=25。\((a+b)^2=(a-b)^2+100\geq100\)よりa+b≧10。等号はa=b=5で実現します。
答え：\(\boxed{218,\ (x,y)=(109,109)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
原点へ戻るのは赤白と白赤。各並びの確率は(104/109)×(5/109)で、2つを足します。
答え：\(\boxed{\frac{1040}{11881}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤の回数をhとすれば移動量2h−5=4−5よりh=2。赤の位置2個を選ぶ並びは5×4/2=10通り。各並びの確率は(104/109)²×(5/109)^3です。
答え：\(\boxed{\frac{13520000}{15386239549}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
4回後に右へ2進むには赤3回・白1回。初めの2回が赤赤の並びは2回目で到達するので除きます。残るのは白赤赤赤、赤白赤赤の2通り。各確率は(104/109)³×(5/109)です。
答え：\(\boxed{\frac{11248640}{141158161}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。