早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第039回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=95を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が2256以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=90cm、BC=10cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=225となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は225cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=5:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 平方数・範囲から整数を絞る（20点）
nは0≦n≦475を満たす整数で、\(\sqrt{n+2025}\)も整数です。
（1）根号の値がとり得る整数をすべて求めなさい。（4点）
（2）条件を満たすnをすべて求めなさい。（6点）
（3）条件を満たすすべてのnの和を求めなさい。（10点）
第5問 並べ方・隣接条件の余事象（20点）
A,Bを含む50人が無作為に横1列に並びます。すべての並び方は同様に確からしいとします。
（1）A,Bの位置を順序なしで選ぶ方法は何通りありますか。（4点）
（2）A,Bが隣り合う確率を求めなさい。（6点）
（3）A,Bが隣り合わないと分かったとき、間にちょうど5人いる確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
y=95−xよりxy=x(95−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+95x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{95^2-(2x-95)^2}{4}\)。整数xでは2x−95の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{2256,\ (x,y)=(47,48),(48,47)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=95^2-(x-y)^2\)。x−yは奇数なのでその2乗は1以上です。よってxy≦2256。差が±1で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 2256}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=10よりS=5t。BC上では底辺AD=10、高さがAB=90で一定なのでS=450です。
答え：\(\boxed{S=5t\ (0\leq t\leq90),\ S=450\ (90\leq t\leq100)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の5t=225よりt=45。BC上の値は225より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{45}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって90秒から100秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{450,\ 90\leq t\leq100}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:5です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(6)、△CEX=5u/(6)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:5なので[BCX]=5u、[BDX]=5u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(5u/2)=2:5です。
答え：\(\boxed{2:5}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は225/2。ADを2:5に分けるので[ABX]=(225/2)×2/(7)です。
答え：\(\boxed{\frac{225}{7}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{1125}{14}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
根号の中は2025から2500までなので、平方根の整数値は45から50までです。両端を含みます。
答え：\(\boxed{45,46,47,48,49,50}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
根号の値をkとするとn=k²−2025。候補を順に代入します。
答え：\(\boxed{0,91,184,279,376,475}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
列挙した6個の値を足します。根号の整数性と範囲を満たす候補は(1)ですべて尽くしています。
答え：\(\boxed{1405}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
50個から2個の位置を選ぶので50×49/2=1225通りです。
答え：\(\boxed{1225}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
位置の組ごとに残りの人の並び方とA,Bの順序は同じ数なので、位置の組は等確率。隣接する組は49通りです。
答え：\(\boxed{\frac{1}{25}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
隣接しない位置の組は1176通り。間に5人なら位置の差が6で、44通りです。
答え：\(\boxed{\frac{11}{294}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。