早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第021回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 定義された整数部分・不等式の境界（20点）
実数tに対し、t以下の最大の整数を[t]と書きます。[x]=42とします。
（1）xの範囲を不等式で表しなさい。（4点）
（2）[2x]のとり得る値をすべて求めなさい。（6点）
（3）[2x]=85となるxの範囲を求めなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−42,1764)、B(2,4)があります。P(t,t²)は−42≦t≦2を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径44cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=42cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 規則性・部分和から各項を復元（20点）
第1段から第k段までの玉の合計が\(42k^2+2k\)個になるように並べます。kは正の整数です。
（1）第1段と第2段の玉の個数をそれぞれ求めなさい。（4点）
（2）第k段の玉の個数をkの式で表し、理由を説明しなさい。（6点）
（3）第4段から第8段までの合計個数を求めなさい。（10点）
第5問 2回の抽出・順序と条件付き数え上げ（20点）
1から44までの整数を1枚ずつ書いた44枚のカードがあります。1枚を引き、戻して混ぜてからもう1枚引きます。1回目をa、2回目をbとします。
（1）a+b=87である確率を求めなさい。（4点）
（2）abが偶数である確率を求めなさい。（6点）
（3）a≠bであると分かったとき、a+b=87である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
定義から42≦x<43です。
答え：\(\boxed{42\leq x<43}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
2倍すると84≦2x<86。この区間の各整数部分が実現します。
答え：\(\boxed{84,85}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
85≦2x<86を2で割ります。上端は含みません。
答え：\(\boxed{\frac{85}{2}\leq x<43}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(4−1764)/(44)=-40。Aを代入すると切片は84です。
答え：\(\boxed{y=(-40)x+84}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-40)t+84−t²=(t+42)(2−t)。面積は左右に分けてPQ×(44)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{44}2(t+42)(2-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+42)(2−t)=\(\frac{1936}4-(t+20)^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=10648,\ t=-20}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=1936−1764=172。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{172}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{\frac{968}{21}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=1936(1936−1764)/1764。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{44}{42}\sqrt{172}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
第1段は42+2。第2段は第2段までの合計(172)から第1段を引きます。
答え：\(\boxed{44,\ 128}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
k≧2では42k²+2k−{42(k−1)²+2(k−1)}=84k−40。k=1でも第1段の値と一致します。
答え：\(\boxed{84k-40}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
第8段までの合計から第3段までの合計を引きます。下限は第4段なので引くのは第3段までです。
答え：\(\boxed{2320}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
(a,b)は順序のある1936組。指定された和に対してaが43から44のときだけbも範囲に入り、2組です。
答え：\(\boxed{\frac{1}{968}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
積が奇数なのは両方奇数の場合だけ。奇数は22枚なので、全体から484組を除きます。
答え：\(\boxed{\frac{3}{4}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a≠bの組は1892組。和が指定値で同じ数になる組を(1)から除くと2組残ります。
答え：\(\boxed{\frac{1}{946}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。