早稲田大学高等学院対策 数学模擬試験 第075回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数部分の定義・境界の扱いと、関数・図形・確率の記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 定義された整数部分・不等式の境界（20点）
実数tに対し、t以下の最大の整数を[t]と書きます。[x]=96とします。
（1）xの範囲を不等式で表しなさい。（4点）
（2）[6x]のとり得る値をすべて求めなさい。（6点）
（3）[6x]=581となるxの範囲を求めなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−96,9216)、B(96,9216)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−96<t<96を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{6}{7}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 角の二等分線・面積と等距離の証明（20点）
三角形ABCはAB=102cm、AC=108cm、BC=198cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をD、∠Bの二等分線とADの交点をIとします。Iは三角形の内部にあります。
（1）BD:DC=AB:ACを、面積比を使って証明しなさい。（4点）
（2）BDの長さを求めなさい。（6点）
（3）Iから3本の直線AB,BC,CAまでの距離が等しいことを証明しなさい。（10点）
第4問 回転体・円すいの差と相似（20点）
直角台形ABCDをA(0,0)、B(12,0)、C(6,96)、D(0,96)とします。直線ADの周りに1回転します。
（1）BCを延長した直線とADの交点のy座標を求めなさい。（4点）
（2）回転体の体積を求めなさい。（6点）
（3）上下の底面を含む表面積を求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から102までの整数を1個ずつ書いた102枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが6の倍数でも7の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが6の倍数または7の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが6の倍数または7の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
定義から96≦x<97です。
答え：\(\boxed{96\leq x<97}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
6倍すると576≦6x<582。この区間の各整数部分が実現します。
答え：\(\boxed{576,577,578,579,580,581}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
581≦6x<582を6で割ります。上端は含みません。
答え：\(\boxed{\frac{581}{6}\leq x<97}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=192、高さ=9216なので面積は96³です。
答え：\(\boxed{884736}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(9216−t²)/9216=6/7。よってt²=\frac{9216}{7}。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{96}{\sqrt{7}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=\frac{9216}{7}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
DからAB,ACへ垂線を下ろすと、ADを共通の斜辺とし∠BAD=∠DACの直角三角形は合同で、垂線の長さが等しい。したがって[ABD]:[ACD]=AB:AC。一方、BCへの高さは共通なのでその面積比はBD:DCです。
答え：\(\boxed{BD:DC=102:108}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
BD+DC=198、比が102:108よりBD=198×102/(210)です。
答え：\(\boxed{\frac{3366}{35}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
IからAB,ACへの垂線は、AIを共通の斜辺とし等しい角を持つ直角三角形の合同から等しい。同様にBIが∠Bを二等分するため、AB,BCへの垂線も等しい。よって3距離が等しい。
答え：\(\boxed{d(I,AB)=d(I,BC)=d(I,CA)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
半径が12から6へ、高さ96で半減するので、さらに96進むと0になります。交点は(0,192)です。
答え：\(\boxed{192}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
半径12・高さ192の円すいから、半径6・高さ96の円すいを除きます。π((12)²×192−36×96)/3です。
答え：\(\boxed{8064\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
母線BC=√(9216+36)。円すいの側面積の差はπ(12×2BC−6×BC)=18πBC。上下の円の面積を足します。
答え：\(\boxed{18\pi\sqrt{9252}+180\pi}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は42の倍数で、2個です。
答え：\(\boxed{\frac{1}{51}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
6の倍数17個と7の倍数14個を足し、二重に数えた公倍数2個を1回引くと29個です。
答え：\(\boxed{\frac{29}{102}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は29個。このうち重なりの2個を除いた27個が一方だけです。
答え：\(\boxed{\frac{27}{29}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。