早稲田大学高等学院対策 数学模擬試験 第074回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数部分の定義・境界の扱いと、関数・図形・確率の記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=197を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が9702以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−96,9216)、B(5,25)があります。P(t,t²)は−96≦t≦5を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径101cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=96cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺10cmの立方体を0≦x,y,z≦10と表します。平面x+y+z=15で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が96倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が96倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 並べ方・隣接条件の余事象（20点）
A,Bを含む101人が無作為に横1列に並びます。すべての並び方は同様に確からしいとします。
（1）A,Bの位置を順序なしで選ぶ方法は何通りありますか。（4点）
（2）A,Bが隣り合う確率を求めなさい。（6点）
（3）A,Bが隣り合わないと分かったとき、間にちょうど5人いる確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
y=197−xよりxy=x(197−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+197x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{197^2-(2x-197)^2}{4}\)。整数xでは2x−197の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{9702,\ (x,y)=(98,99),(99,98)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=197^2-(x-y)^2\)。x−yは奇数なのでその2乗は1以上です。よってxy≦9702。差が±1で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 9702}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(25−9216)/(101)=-91。Aを代入すると切片は480です。
答え：\(\boxed{y=(-91)x+480}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-91)t+480−t²=(t+96)(5−t)。面積は左右に分けてPQ×(101)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{101}2(t+96)(5-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+96)(5−t)=\(\frac{10201}4-(t+\frac{91}{2})^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=\frac{1030301}{8},\ t=-\frac{91}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=10201−9216=985。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{985}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{\frac{10201}{96}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=10201(10201−9216)/9216。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{101}{96}\sqrt{985}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を10とすると残りは5。(10,5,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(10,5,0),(10,0,5),(5,10,0),(0,10,5),(5,0,10),(0,5,10)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(25+25)=5√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{30\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長5√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は325√3。相似比96の面積比は9216です。
答え：\(\boxed{691200\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
101個から2個の位置を選ぶので101×100/2=5050通りです。
答え：\(\boxed{5050}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
位置の組ごとに残りの人の並び方とA,Bの順序は同じ数なので、位置の組は等確率。隣接する組は100通りです。
答え：\(\boxed{\frac{2}{101}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
隣接しない位置の組は4950通り。間に5人なら位置の差が6で、95通りです。
答え：\(\boxed{\frac{19}{990}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。