早稲田大学高等学院対策 数学模擬試験 第040回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数部分の定義・境界の扱いと、関数・図形・確率の記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=76を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が1444以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-29)x+210\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=6:35を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(70,0)、C(70,12)、D(0,12)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺12cmの立方体を0≦x,y,z≦12と表します。平面x+y+z=18で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が35倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が35倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から41までの整数を1個ずつ書いた41枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが6の倍数でも7の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが6の倍数または7の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが6の倍数または7の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
y=76−xよりxy=x(76−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+76x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{76^2-(2x-76)^2}{4}\)。整数xでは2x−76の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{1444,\ (x,y)=(38,38)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=76^2-(x-y)^2\)。2乗は0以上です。よってxy≦1444。差が0で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 1444}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-29)x−210=(x+35)(x−6)なのでx=−35,6です。
答え：\(\boxed{A=(-35,1225),\ B=(6,36)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは35と6です。
答え：\(\boxed{35:6}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の6/41だけ進むので、x=−35+6。直線の式へ代入し、y=(-29)²+210です。
答え：\(\boxed{(-29,1051)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(70−x)²+144。整理して2×70x=5044です。横の長さが縦より大きいので0<x<70を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{1261}{35}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+144=(70−x)²。よってx=(4900−144)/(2×70)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{1189}{35}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は70、高さは12なので面積は70×12/2です。
答え：\(\boxed{420}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を12とすると残りは6。(12,6,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(12,6,0),(12,0,6),(6,12,0),(0,12,6),(6,0,12),(0,6,12)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(36+36)=6√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{36\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長6√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は336√3。相似比35の面積比は1225です。
答え：\(\boxed{132300\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は42の倍数で、0個です。
答え：\(\boxed{0}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
6の倍数6個と7の倍数5個を足し、二重に数えた公倍数0個を1回引くと11個です。
答え：\(\boxed{\frac{11}{41}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は11個。このうち重なりの0個を除いた11個が一方だけです。
答え：\(\boxed{1}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。