早稲田大学高等学院対策 数学模擬試験 第005回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数部分の定義・境界の扱いと、関数・図形・確率の記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{6}{x}=34\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{36}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{216}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{1296}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=56cm、BC=12cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=168となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 直角三角形・斜辺上の点への距離（20点）
三角形ABCは∠A=90°、AB=84cm、AC=112cmです。AからBCに下ろした垂線の足をH、BC上でBP:PC=6:1となる点をPとします。
（1）BCとAHの長さを求めなさい。（4点）
（2）BHの長さを求め、用いた相似を示しなさい。（6点）
（3）AP²の値を求めなさい。（10点）
第4問 円すいと内接円柱・体積の比較（20点）
底面半径6cm、高さ28cmの円すいがあります。底面を共通の平面に置き、中心軸を一致させた高さhの円柱を内接させます。0<h<28とします。
（1）円柱の半径rをhの式で表しなさい。（4点）
（2）h=\(\frac{28}{3}\)のときの円柱の体積を求めなさい。（6点）
（3）h=\(\frac{56}{3}\)のときと(2)の体積を比較し、比を求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から34までの整数を1個ずつ書いた34枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが6の倍数でも7の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが6の倍数または7の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが6の倍数または7の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+12+36/x²=1156です。
答え：\(\boxed{1144}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+6/x)(x²+36/x²)=x³+216/x³+6(x+6/x)なので、34×1144−6×34です。
答え：\(\boxed{38692}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+36/x²)²=x⁴+1296/x⁴+72より、1144²−72です。
答え：\(\boxed{1308664}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=12よりS=6t。BC上では底辺AD=12、高さがAB=56で一定なのでS=336です。
答え：\(\boxed{S=6t\ (0\leq t\leq56),\ S=336\ (56\leq t\leq68)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の6t=168よりt=28。BC上の値は168より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{28}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって56秒から68秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{336,\ 56\leq t\leq68}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
三平方でBC=140。面積をAB×AC/2=BC×AH/2と表すとAH=\frac{336}{5}です。
答え：\(\boxed{BC=140,\ AH=\frac{336}{5}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABHと△CBAは直角と∠Bが等しいので相似。AB/BC=BH/AB、すなわちBH=AB²/BC=\frac{252}{5}です。
答え：\(\boxed{\frac{252}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
BP=120。HP=|BP−BH|。三平方でAP²=AH²+(BP−BH)²を計算します。
答え：\(\boxed{9360}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
断面の相似よりr/6=(28−h)/28です。
答え：\(\boxed{r=6\left(1-\frac{h}{28}\right)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
r=4、h=\frac{28}{3}をπr²hへ代入します。
答え：\(\boxed{\frac{448}{3}\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
hが2倍になるとrは2となり半分。したがって体積は2×(1/2)²=1/2倍です。
答え：\(\boxed{2:1}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は42の倍数で、0個です。
答え：\(\boxed{0}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
6の倍数5個と7の倍数4個を足し、二重に数えた公倍数0個を1回引くと9個です。
答え：\(\boxed{\frac{9}{34}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は9個。このうち重なりの0個を除いた9個が一方だけです。
答え：\(\boxed{1}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。