筑波大学附属駒場高等学校対策 数学模擬試験 第040回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数条件・規則性・初到達の確率と、図形の証明を組み合わせる演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 平方数・範囲から整数を絞る（20点）
nは0≦n≦336を満たす整数で、\(\sqrt{n+625}\)も整数です。
（1）根号の値がとり得る整数をすべて求めなさい。（4点）
（2）条件を満たすnをすべて求めなさい。（6点）
（3）条件を満たすすべてのnの和を求めなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−25,625)、B(6,36)があります。P(t,t²)は−25≦t≦6を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は150cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=6:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺12cmの立方体を0≦x,y,z≦12と表します。平面x+y+z=18で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が25倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が25倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から31までの整数を1個ずつ書いた31枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが6の倍数でも7の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが6の倍数または7の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが6の倍数または7の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
根号の中は625から961までなので、平方根の整数値は25から31までです。両端を含みます。
答え：\(\boxed{25,26,27,28,29,30,31}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
根号の値をkとするとn=k²−625。候補を順に代入します。
答え：\(\boxed{0,51,104,159,216,275,336}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
列挙した7個の値を足します。根号の整数性と範囲を満たす候補は(1)ですべて尽くしています。
答え：\(\boxed{1141}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(36−625)/(31)=-19。Aを代入すると切片は150です。
答え：\(\boxed{y=(-19)x+150}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-19)t+150−t²=(t+25)(6−t)。面積は左右に分けてPQ×(31)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{31}2(t+25)(6-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+25)(6−t)=\(\frac{961}4-(t+\frac{19}{2})^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=\frac{29791}{8},\ t=-\frac{19}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:6です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(7)、△CEX=6u/(7)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:6なので[BCX]=6u、[BDX]=6u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(6u/2)=2:6です。
答え：\(\boxed{2:6}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は150/2。ADを2:6に分けるので[ABX]=(150/2)×2/(8)です。
答え：\(\boxed{\frac{75}{4}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{225}{4}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を12とすると残りは6。(12,6,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(12,6,0),(12,0,6),(6,12,0),(0,12,6),(6,0,12),(0,6,12)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(36+36)=6√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{36\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長6√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は336√3。相似比25の面積比は625です。
答え：\(\boxed{67500\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は42の倍数で、0個です。
答え：\(\boxed{0}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
6の倍数5個と7の倍数4個を足し、二重に数えた公倍数0個を1回引くと9個です。
答え：\(\boxed{\frac{9}{31}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は9個。このうち重なりの0個を除いた9個が一方だけです。
答え：\(\boxed{1}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。