筑波大学附属駒場高等学校対策 数学模擬試験 第037回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数条件・規則性・初到達の確率と、図形の証明を組み合わせる演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整式の割り算・約数と最小値（20点）
3以上の整数nについて\(\frac{n^2+75}n\)が整数になります。
（1）nが満たす約数の条件を説明しなさい。（4点）
（2）可能なnをすべて求めなさい。（6点）
（3）与えられた式の最小値と、そのときのnをすべて求めなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-22)x+75\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=3:25を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 角の二等分線・面積と等距離の証明（20点）
三角形ABCはAB=28cm、AC=31cm、BC=53cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をD、∠Bの二等分線とADの交点をIとします。Iは三角形の内部にあります。
（1）BD:DC=AB:ACを、面積比を使って証明しなさい。（4点）
（2）BDの長さを求めなさい。（6点）
（3）Iから3本の直線AB,BC,CAまでの距離が等しいことを証明しなさい。（10点）
第4問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=53を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が702以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第5問 2回の抽出・順序と条件付き数え上げ（20点）
1から28までの整数を1枚ずつ書いた28枚のカードがあります。1枚を引き、戻して混ぜてからもう1枚引きます。1回目をa、2回目をbとします。
（1）a+b=54である確率を求めなさい。（4点）
（2）abが偶数である確率を求めなさい。（6点）
（3）a≠bであると分かったとき、a+b=54である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
式はn+75/nなので、nが整数なら残る75/nも整数であることが必要十分です。つまりnは75の正の約数です。
答え：\(\boxed{n\mid 75}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
75の正の約数を小さい順に調べ、3以上という条件を満たすものを挙げます。
答え：\(\boxed{3,5,15,25,75}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a+bでab=75です。(a+b)²=(a−b)²+300だから、差の絶対値が最小の約数の組で最小になります。(2)の約数を比べると該当するnは[5, 15]です。
答え：\(\boxed{20,\ n=5,15}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-22)x−75=(x+25)(x−3)なのでx=−25,3です。
答え：\(\boxed{A=(-25,625),\ B=(3,9)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは25と3です。
答え：\(\boxed{25:3}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の3/28だけ進むので、x=−25+3。直線の式へ代入し、y=(-22)²+75です。
答え：\(\boxed{(-22,559)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
DからAB,ACへ垂線を下ろすと、ADを共通の斜辺とし∠BAD=∠DACの直角三角形は合同で、垂線の長さが等しい。したがって[ABD]:[ACD]=AB:AC。一方、BCへの高さは共通なのでその面積比はBD:DCです。
答え：\(\boxed{BD:DC=28:31}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
BD+DC=53、比が28:31よりBD=53×28/(59)です。
答え：\(\boxed{\frac{1484}{59}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
IからAB,ACへの垂線は、AIを共通の斜辺とし等しい角を持つ直角三角形の合同から等しい。同様にBIが∠Bを二等分するため、AB,BCへの垂線も等しい。よって3距離が等しい。
答え：\(\boxed{d(I,AB)=d(I,BC)=d(I,CA)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
y=53−xよりxy=x(53−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+53x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{53^2-(2x-53)^2}{4}\)。整数xでは2x−53の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{702,\ (x,y)=(26,27),(27,26)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=53^2-(x-y)^2\)。x−yは奇数なのでその2乗は1以上です。よってxy≦702。差が±1で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 702}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
(a,b)は順序のある784組。指定された和に対してaが26から28のときだけbも範囲に入り、3組です。
答え：\(\boxed{\frac{3}{784}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
積が奇数なのは両方奇数の場合だけ。奇数は14枚なので、全体から196組を除きます。
答え：\(\boxed{\frac{3}{4}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a≠bの組は756組。和が指定値で同じ数になる組を(1)から除くと2組残ります。
答え：\(\boxed{\frac{1}{378}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。