開成高等学校対策 数学模擬試験 第097回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-77|+|x-80|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<77、77≦x≦80、x>80に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=3のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−77,5929)、B(77,5929)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−77<t<77を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{3}{4}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(154,0)、C(154,6)、D(0,6)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺6cmの立方体を0≦x,y,z≦6と表します。平面x+y+z=9で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が77倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が77倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 2回の抽出・順序と条件付き数え上げ（20点）
1から80までの整数を1枚ずつ書いた80枚のカードがあります。1枚を引き、戻して混ぜてからもう1枚引きます。1回目をa、2回目をbとします。
（1）a+b=158である確率を求めなさい。（4点）
（2）abが偶数である確率を求めなさい。（6点）
（3）a≠bであると分かったとき、a+b=158である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に157−2x、3、2x−157です。
答え：\(\boxed{157-2x,\ 3,\ 2x-157}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に3。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{77\leq x\leq80}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<3は解なし。k=3は中央全体。k>3は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<3:\text{解なし};\ k=3:77\leq x\leq80;\ k>3:x=\frac{157-k}{2},\frac{157+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=154、高さ=5929なので面積は77³です。
答え：\(\boxed{456533}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(5929−t²)/5929=3/4。よってt²=\frac{5929}{4}。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{77}{\sqrt{4}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=\frac{5929}{4}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(154−x)²+36。整理して2×154x=23752です。横の長さが縦より大きいので0<x<154を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{5938}{77}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+36=(154−x)²。よってx=(23716−36)/(2×154)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{5920}{77}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は154、高さは6なので面積は154×6/2です。
答え：\(\boxed{462}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を6とすると残りは3。(6,3,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(6,3,0),(6,0,3),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,6),(0,3,6)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(9+9)=3√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{18\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長3√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は39√3。相似比77の面積比は5929です。
答え：\(\boxed{160083\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
(a,b)は順序のある6400組。指定された和に対してaが78から80のときだけbも範囲に入り、3組です。
答え：\(\boxed{\frac{3}{6400}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
積が奇数なのは両方奇数の場合だけ。奇数は40枚なので、全体から1600組を除きます。
答え：\(\boxed{\frac{3}{4}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a≠bの組は6320組。和が指定値で同じ数になる組を(1)から除くと2組残ります。
答え：\(\boxed{\frac{1}{3160}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。