開成高等学校対策 数学模擬試験 第095回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=158を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が6241以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=152cm、BC=12cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=456となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 直角三角形・斜辺上の点への距離（20点）
三角形ABCは∠A=90°、AB=228cm、AC=304cmです。AからBCに下ろした垂線の足をH、BC上でBP:PC=6:1となる点をPとします。
（1）BCとAHの長さを求めなさい。（4点）
（2）BHの長さを求め、用いた相似を示しなさい。（6点）
（3）AP²の値を求めなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺12cmの立方体を0≦x,y,z≦12と表します。平面x+y+z=18で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が76倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が76倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 整式の割り算・約数と最小値（20点）
6以上の整数nについて\(\frac{n^2+456}n\)が整数になります。
（1）nが満たす約数の条件を説明しなさい。（4点）
（2）可能なnをすべて求めなさい。（6点）
（3）与えられた式の最小値と、そのときのnをすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
y=158−xよりxy=x(158−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+158x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{158^2-(2x-158)^2}{4}\)。整数xでは2x−158の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{6241,\ (x,y)=(79,79)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=158^2-(x-y)^2\)。2乗は0以上です。よってxy≦6241。差が0で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 6241}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=12よりS=6t。BC上では底辺AD=12、高さがAB=152で一定なのでS=912です。
答え：\(\boxed{S=6t\ (0\leq t\leq152),\ S=912\ (152\leq t\leq164)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の6t=456よりt=76。BC上の値は456より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{76}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって152秒から164秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{912,\ 152\leq t\leq164}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
三平方でBC=380。面積をAB×AC/2=BC×AH/2と表すとAH=\frac{912}{5}です。
答え：\(\boxed{BC=380,\ AH=\frac{912}{5}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABHと△CBAは直角と∠Bが等しいので相似。AB/BC=BH/AB、すなわちBH=AB²/BC=\frac{684}{5}です。
答え：\(\boxed{\frac{684}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
BP=\frac{2280}{7}。HP=|BP−BH|。三平方でAP²=AH²+(BP−BH)²を計算します。
答え：\(\boxed{\frac{3378960}{49}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を12とすると残りは6。(12,6,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(12,6,0),(12,0,6),(6,12,0),(0,12,6),(6,0,12),(0,6,12)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(36+36)=6√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{36\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長6√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は336√3。相似比76の面積比は5776です。
答え：\(\boxed{623808\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
式はn+456/nなので、nが整数なら残る456/nも整数であることが必要十分です。つまりnは456の正の約数です。
答え：\(\boxed{n\mid 456}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
456の正の約数を小さい順に調べ、6以上という条件を満たすものを挙げます。
答え：\(\boxed{6,8,12,19,24,38,57,76,114,152,228,456}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a+bでab=456です。(a+b)²=(a−b)²+1824だから、差の絶対値が最小の約数の組で最小になります。(2)の約数を比べると該当するnは[19, 24]です。
答え：\(\boxed{43,\ n=19,24}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。