開成高等学校対策 数学模擬試験 第091回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 定義された整数部分・不等式の境界（20点）
実数tに対し、t以下の最大の整数を[t]と書きます。[x]=76とします。
（1）xの範囲を不等式で表しなさい。（4点）
（2）[2x]のとり得る値をすべて求めなさい。（6点）
（3）[2x]=153となるxの範囲を求めなさい。（10点）
第2問 座標・距離の2乗と最小値（20点）
A(0,76)、B(4,76)、P(t,0)とします。
（1）PA²+PB²をtの式で表しなさい。（4点）
（2）PA²+PB²の最小値と、そのときのPの座標を求めなさい。（6点）
（3）PA²+PB²がその最小値より8だけ大きくなるPの座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は152cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=2:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 回転体・円すいの差と相似（20点）
直角台形ABCDをA(0,0)、B(4,0)、C(2,76)、D(0,76)とします。直線ADの周りに1回転します。
（1）BCを延長した直線とADの交点のy座標を求めなさい。（4点）
（2）回転体の体積を求めなさい。（6点）
（3）上下の底面を含む表面積を求めなさい。（10点）
第5問 2回の抽出・順序と条件付き数え上げ（20点）
1から78までの整数を1枚ずつ書いた78枚のカードがあります。1枚を引き、戻して混ぜてからもう1枚引きます。1回目をa、2回目をbとします。
（1）a+b=155である確率を求めなさい。（4点）
（2）abが偶数である確率を求めなさい。（6点）
（3）a≠bであると分かったとき、a+b=155である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
定義から76≦x<77です。
答え：\(\boxed{76\leq x<77}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
2倍すると152≦2x<154。この区間の各整数部分が実現します。
答え：\(\boxed{152,153}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
153≦2x<154を2で割ります。上端は含みません。
答え：\(\boxed{\frac{153}{2}\leq x<77}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
三平方よりPA²=t²+5776、PB²=(t−4)²+5776です。
答え：\(\boxed{2t^2-8t+11568}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
和は\(2(t-2)^2+11560\)。2乗は0以上なのでt=2で最小です。
答え：\(\boxed{11560,\ P=(2,0)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2(t−2)²=8よりt−2=±2。正負の両方を採ります。
答え：\(\boxed{(0,0),\ (4,0)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:2です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(3)、△CEX=2u/(3)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:2なので[BCX]=2u、[BDX]=2u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(2u/2)=2:2です。
答え：\(\boxed{2:2}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は152/2。ADを2:2に分けるので[ABX]=(152/2)×2/(4)です。
答え：\(\boxed{38}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{38}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
半径が4から2へ、高さ76で半減するので、さらに76進むと0になります。交点は(0,152)です。
答え：\(\boxed{152}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
半径4・高さ152の円すいから、半径2・高さ76の円すいを除きます。π((4)²×152−4×76)/3です。
答え：\(\boxed{\frac{2128}{3}\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
母線BC=√(5776+4)。円すいの側面積の差はπ(4×2BC−2×BC)=6πBC。上下の円の面積を足します。
答え：\(\boxed{6\pi\sqrt{5780}+20\pi}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
(a,b)は順序のある6084組。指定された和に対してaが77から78のときだけbも範囲に入り、2組です。
答え：\(\boxed{\frac{1}{3042}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
積が奇数なのは両方奇数の場合だけ。奇数は39枚なので、全体から1521組を除きます。
答え：\(\boxed{\frac{3}{4}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a≠bの組は6006組。和が指定値で同じ数になる組を(1)から除くと2組残ります。
答え：\(\boxed{\frac{1}{3003}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。