開成高等学校対策 数学模擬試験 第089回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{5}{x}=80\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{25}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{125}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{625}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−75,5625)、B(75,5625)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−75<t<75を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{5}{6}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径80cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=75cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 回転体・円すいの差と相似（20点）
直角台形ABCDをA(0,0)、B(10,0)、C(5,75)、D(0,75)とします。直線ADの周りに1回転します。
（1）BCを延長した直線とADの交点のy座標を求めなさい。（4点）
（2）回転体の体積を求めなさい。（6点）
（3）上下の底面を含む表面積を求めなさい。（10点）
第5問 整式の割り算・約数と最小値（20点）
5以上の整数nについて\(\frac{n^2+375}n\)が整数になります。
（1）nが満たす約数の条件を説明しなさい。（4点）
（2）可能なnをすべて求めなさい。（6点）
（3）与えられた式の最小値と、そのときのnをすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+10+25/x²=6400です。
答え：\(\boxed{6390}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+5/x)(x²+25/x²)=x³+125/x³+5(x+5/x)なので、80×6390−5×80です。
答え：\(\boxed{510800}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+25/x²)²=x⁴+625/x⁴+50より、6390²−50です。
答え：\(\boxed{40832050}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=150、高さ=5625なので面積は75³です。
答え：\(\boxed{421875}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(5625−t²)/5625=5/6。よってt²=\frac{1875}{2}。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{75}{\sqrt{6}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=\frac{1875}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=6400−5625=775。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{775}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{\frac{256}{3}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=6400(6400−5625)/5625。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{80}{75}\sqrt{775}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
半径が10から5へ、高さ75で半減するので、さらに75進むと0になります。交点は(0,150)です。
答え：\(\boxed{150}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
半径10・高さ150の円すいから、半径5・高さ75の円すいを除きます。π((10)²×150−25×75)/3です。
答え：\(\boxed{4375\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
母線BC=√(5625+25)。円すいの側面積の差はπ(10×2BC−5×BC)=15πBC。上下の円の面積を足します。
答え：\(\boxed{15\pi\sqrt{5650}+125\pi}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
式はn+375/nなので、nが整数なら残る375/nも整数であることが必要十分です。つまりnは375の正の約数です。
答え：\(\boxed{n\mid 375}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
375の正の約数を小さい順に調べ、5以上という条件を満たすものを挙げます。
答え：\(\boxed{5,15,25,75,125,375}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a+bでab=375です。(a+b)²=(a−b)²+1500だから、差の絶対値が最小の約数の組で最小になります。(2)の約数を比べると該当するnは[15, 25]です。
答え：\(\boxed{40,\ n=15,25}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。