開成高等学校対策 数学模擬試験 第085回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=154を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が5929以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−74,5476)、B(74,5476)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−74<t<74を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{6}{7}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は444cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=6:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 円すいと内接円柱・体積の比較（20点）
底面半径6cm、高さ74cmの円すいがあります。底面を共通の平面に置き、中心軸を一致させた高さhの円柱を内接させます。0<h<74とします。
（1）円柱の半径rをhの式で表しなさい。（4点）
（2）h=\(\frac{74}{3}\)のときの円柱の体積を求めなさい。（6点）
（3）h=\(\frac{148}{3}\)のときと(2)の体積を比較し、比を求めなさい。（10点）
第5問 確率と移動・最初に到達する時刻（20点）
袋に赤玉74個、白玉6個があります。数直線上の点Pは原点から出発し、袋から等確率で玉を1個引くたびに、赤なら右へ1、白なら左へ1進みます。玉は毎回袋に戻し、よく混ぜます。
（1）2回後に原点にいる確率を求めなさい。（4点）
（2）6回後の座標が-2である確率を求めなさい。（6点）
（3）座標2に初めて到達するのが4回目である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
y=154−xよりxy=x(154−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+154x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{154^2-(2x-154)^2}{4}\)。整数xでは2x−154の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{5929,\ (x,y)=(77,77)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=154^2-(x-y)^2\)。2乗は0以上です。よってxy≦5929。差が0で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 5929}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=148、高さ=5476なので面積は74³です。
答え：\(\boxed{405224}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(5476−t²)/5476=6/7。よってt²=\frac{5476}{7}。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{74}{\sqrt{7}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=\frac{5476}{7}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:6です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(7)、△CEX=6u/(7)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:6なので[BCX]=6u、[BDX]=6u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(6u/2)=2:6です。
答え：\(\boxed{2:6}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は444/2。ADを2:6に分けるので[ABX]=(444/2)×2/(8)です。
答え：\(\boxed{\frac{111}{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{333}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
断面の相似よりr/6=(74−h)/74です。
答え：\(\boxed{r=6\left(1-\frac{h}{74}\right)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
r=4、h=\frac{74}{3}をπr²hへ代入します。
答え：\(\boxed{\frac{1184}{3}\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
hが2倍になるとrは2となり半分。したがって体積は2×(1/2)²=1/2倍です。
答え：\(\boxed{2:1}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
原点へ戻るのは赤白と白赤。各並びの確率は(74/80)×(6/80)で、2つを足します。
答え：\(\boxed{\frac{111}{800}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤の回数をhとすれば移動量2h−6=4−6よりh=2。赤の位置2個を選ぶ並びは6×5/2=15通り。各並びの確率は(74/80)²×(6/80)^4です。
答え：\(\boxed{\frac{332667}{819200000}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
4回後に右へ2進むには赤3回・白1回。初めの2回が赤赤の並びは2回目で到達するので除きます。残るのは白赤赤赤、赤白赤赤の2通り。各確率は(74/80)³×(6/80)です。
答え：\(\boxed{\frac{151959}{1280000}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。