開成高等学校対策 数学模擬試験 第082回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-74|+|x-77|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<74、74≦x≦77、x>77に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=3のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=148cm、BC=6cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=222となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 角の二等分線・面積と等距離の証明（20点）
三角形ABCはAB=77cm、AC=80cm、BC=151cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をD、∠Bの二等分線とADの交点をIとします。Iは三角形の内部にあります。
（1）BD:DC=AB:ACを、面積比を使って証明しなさい。（4点）
（2）BDの長さを求めなさい。（6点）
（3）Iから3本の直線AB,BC,CAまでの距離が等しいことを証明しなさい。（10点）
第4問 回転体・円すいの差と相似（20点）
直角台形ABCDをA(0,0)、B(6,0)、C(3,74)、D(0,74)とします。直線ADの周りに1回転します。
（1）BCを延長した直線とADの交点のy座標を求めなさい。（4点）
（2）回転体の体積を求めなさい。（6点）
（3）上下の底面を含む表面積を求めなさい。（10点）
第5問 余り・連続する整数の公倍数（20点）
正の整数nを3で割ると余りは2、4で割ると余りは3です。
（1）最小のnを求めなさい。（4点）
（2）1≦n≦887で条件を満たすnの個数を求めなさい。（6点）
（3）(2)で条件を満たすnの和を、両端を組み合わせる方法で求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に151−2x、3、2x−151です。
答え：\(\boxed{151-2x,\ 3,\ 2x-151}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に3。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{74\leq x\leq77}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<3は解なし。k=3は中央全体。k>3は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<3:\text{解なし};\ k=3:74\leq x\leq77;\ k>3:x=\frac{151-k}{2},\frac{151+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=6よりS=3t。BC上では底辺AD=6、高さがAB=148で一定なのでS=444です。
答え：\(\boxed{S=3t\ (0\leq t\leq148),\ S=444\ (148\leq t\leq154)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の3t=222よりt=74。BC上の値は222より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{74}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって148秒から154秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{444,\ 148\leq t\leq154}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
DからAB,ACへ垂線を下ろすと、ADを共通の斜辺とし∠BAD=∠DACの直角三角形は合同で、垂線の長さが等しい。したがって[ABD]:[ACD]=AB:AC。一方、BCへの高さは共通なのでその面積比はBD:DCです。
答え：\(\boxed{BD:DC=77:80}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
BD+DC=151、比が77:80よりBD=151×77/(157)です。
答え：\(\boxed{\frac{11627}{157}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
IからAB,ACへの垂線は、AIを共通の斜辺とし等しい角を持つ直角三角形の合同から等しい。同様にBIが∠Bを二等分するため、AB,BCへの垂線も等しい。よって3距離が等しい。
答え：\(\boxed{d(I,AB)=d(I,BC)=d(I,CA)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
半径が6から3へ、高さ74で半減するので、さらに74進むと0になります。交点は(0,148)です。
答え：\(\boxed{148}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
半径6・高さ148の円すいから、半径3・高さ74の円すいを除きます。π((6)²×148−9×74)/3です。
答え：\(\boxed{1554\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
母線BC=√(5476+9)。円すいの側面積の差はπ(6×2BC−3×BC)=9πBC。上下の円の面積を足します。
答え：\(\boxed{9\pi\sqrt{5485}+45\pi}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
n+1は3と4の公倍数です。連続する整数は互いに素なので最小公倍数は12。n=12k−1、kは正の整数です。
答え：\(\boxed{11}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
上限より12k−1≦887、つまり1≦k≦74。
答え：\(\boxed{74}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
初項11と末項887の和は898。先頭と末尾の順を逆にした列を足すと各項がこの値で、全体の2倍が74倍になります。
答え：\(\boxed{33226}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。