開成高等学校対策 数学模擬試験 第079回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{5}{x}=78\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{25}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{125}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{625}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 座標・距離の2乗と最小値（20点）
A(0,73)、B(10,73)、P(t,0)とします。
（1）PA²+PB²をtの式で表しなさい。（4点）
（2）PA²+PB²の最小値と、そのときのPの座標を求めなさい。（6点）
（3）PA²+PB²がその最小値より50だけ大きくなるPの座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 角の二等分線・面積と等距離の証明（20点）
三角形ABCはAB=78cm、AC=83cm、BC=151cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をD、∠Bの二等分線とADの交点をIとします。Iは三角形の内部にあります。
（1）BD:DC=AB:ACを、面積比を使って証明しなさい。（4点）
（2）BDの長さを求めなさい。（6点）
（3）Iから3本の直線AB,BC,CAまでの距離が等しいことを証明しなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺10cmの立方体を0≦x,y,z≦10と表します。平面x+y+z=15で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が73倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が73倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 確率と移動・最初に到達する時刻（20点）
袋に赤玉73個、白玉5個があります。数直線上の点Pは原点から出発し、袋から等確率で玉を1個引くたびに、赤なら右へ1、白なら左へ1進みます。玉は毎回袋に戻し、よく混ぜます。
（1）2回後に原点にいる確率を求めなさい。（4点）
（2）5回後の座標が-1である確率を求めなさい。（6点）
（3）座標2に初めて到達するのが4回目である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+10+25/x²=6084です。
答え：\(\boxed{6074}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+5/x)(x²+25/x²)=x³+125/x³+5(x+5/x)なので、78×6074−5×78です。
答え：\(\boxed{473382}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+25/x²)²=x⁴+625/x⁴+50より、6074²−50です。
答え：\(\boxed{36893426}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
三平方よりPA²=t²+5329、PB²=(t−10)²+5329です。
答え：\(\boxed{2t^2-20t+10758}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
和は\(2(t-5)^2+10708\)。2乗は0以上なのでt=5で最小です。
答え：\(\boxed{10708,\ P=(5,0)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2(t−5)²=50よりt−5=±5。正負の両方を採ります。
答え：\(\boxed{(0,0),\ (10,0)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
DからAB,ACへ垂線を下ろすと、ADを共通の斜辺とし∠BAD=∠DACの直角三角形は合同で、垂線の長さが等しい。したがって[ABD]:[ACD]=AB:AC。一方、BCへの高さは共通なのでその面積比はBD:DCです。
答え：\(\boxed{BD:DC=78:83}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
BD+DC=151、比が78:83よりBD=151×78/(161)です。
答え：\(\boxed{\frac{11778}{161}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
IからAB,ACへの垂線は、AIを共通の斜辺とし等しい角を持つ直角三角形の合同から等しい。同様にBIが∠Bを二等分するため、AB,BCへの垂線も等しい。よって3距離が等しい。
答え：\(\boxed{d(I,AB)=d(I,BC)=d(I,CA)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を10とすると残りは5。(10,5,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(10,5,0),(10,0,5),(5,10,0),(0,10,5),(5,0,10),(0,5,10)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(25+25)=5√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{30\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長5√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は325√3。相似比73の面積比は5329です。
答え：\(\boxed{399675\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
原点へ戻るのは赤白と白赤。各並びの確率は(73/78)×(5/78)で、2つを足します。
答え：\(\boxed{\frac{365}{3042}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤の回数をhとすれば移動量2h−5=4−5よりh=2。赤の位置2個を選ぶ並びは5×4/2=10通り。各並びの確率は(73/78)²×(5/78)^3です。
答え：\(\boxed{\frac{3330625}{1443587184}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
4回後に右へ2進むには赤3回・白1回。初めの2回が赤赤の並びは2回目で到達するので除きます。残るのは白赤赤赤、赤白赤赤の2通り。各確率は(73/78)³×(5/78)です。
答え：\(\boxed{\frac{1945085}{18507528}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。