開成高等学校対策 数学模擬試験 第077回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-73|+|x-76|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<73、73≦x≦76、x>76に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=3のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-70)x+219\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=3:73を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は219cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=3:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 四角すい・切断と相似による体積比（20点）
底面が1辺6cmの正方形で、高さが73cmの正四角すいを、頂点からの距離が高さの半分の位置で底面に平行な平面により切ります。
（1）切断面の1辺の長さを求めなさい。（4点）
（2）下側の台形状の立体の体積を求めなさい。（6点）
（3）下側の立体の側面積（底面と切断面を除く）を求めなさい。（10点）
第5問 整式の割り算・約数と最小値（20点）
3以上の整数nについて\(\frac{n^2+219}n\)が整数になります。
（1）nが満たす約数の条件を説明しなさい。（4点）
（2）可能なnをすべて求めなさい。（6点）
（3）与えられた式の最小値と、そのときのnをすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に149−2x、3、2x−149です。
答え：\(\boxed{149-2x,\ 3,\ 2x-149}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に3。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{73\leq x\leq76}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<3は解なし。k=3は中央全体。k>3は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<3:\text{解なし};\ k=3:73\leq x\leq76;\ k>3:x=\frac{149-k}{2},\frac{149+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-70)x−219=(x+73)(x−3)なのでx=−73,3です。
答え：\(\boxed{A=(-73,5329),\ B=(3,9)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは73と3です。
答え：\(\boxed{73:3}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の3/76だけ進むので、x=−73+3。直線の式へ代入し、y=(-70)²+219です。
答え：\(\boxed{(-70,5119)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:3です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(4)、△CEX=3u/(4)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:3なので[BCX]=3u、[BDX]=3u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(3u/2)=2:3です。
答え：\(\boxed{2:3}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は219/2。ADを2:3に分けるので[ABX]=(219/2)×2/(5)です。
答え：\(\boxed{\frac{219}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{657}{10}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
頂点を含む三角形の相似から、切断面の辺は底辺の1/2です。
答え：\(\boxed{3}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
全体は36×73/3。上側は相似比1/2なので体積比1/8。残りは全体の7/8です。
答え：\(\boxed{\frac{1533}{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
元の側面三角形の高さは√(5329+9)。4枚の面積の合計は12√5338。上側の面積は1/4なので残りは3/4です。
答え：\(\boxed{9\sqrt{5338}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
式はn+219/nなので、nが整数なら残る219/nも整数であることが必要十分です。つまりnは219の正の約数です。
答え：\(\boxed{n\mid 219}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
219の正の約数を小さい順に調べ、3以上という条件を満たすものを挙げます。
答え：\(\boxed{3,73,219}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a+bでab=219です。(a+b)²=(a−b)²+876だから、差の絶対値が最小の約数の組で最小になります。(2)の約数を比べると該当するnは[3, 73]です。
答え：\(\boxed{76,\ n=3,73}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。