開成高等学校対策 数学模擬試験 第073回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-72|+|x-76|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<72、72≦x≦76、x>76に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=4のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−72,5184)、B(4,16)があります。P(t,t²)は−72≦t≦4を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 直角三角形・斜辺上の点への距離（20点）
三角形ABCは∠A=90°、AB=216cm、AC=288cmです。AからBCに下ろした垂線の足をH、BC上でBP:PC=4:1となる点をPとします。
（1）BCとAHの長さを求めなさい。（4点）
（2）BHの長さを求め、用いた相似を示しなさい。（6点）
（3）AP²の値を求めなさい。（10点）
第4問 回転体・円すいの差と相似（20点）
直角台形ABCDをA(0,0)、B(8,0)、C(4,72)、D(0,72)とします。直線ADの周りに1回転します。
（1）BCを延長した直線とADの交点のy座標を求めなさい。（4点）
（2）回転体の体積を求めなさい。（6点）
（3）上下の底面を含む表面積を求めなさい。（10点）
第5問 整式の割り算・約数と最小値（20点）
4以上の整数nについて\(\frac{n^2+288}n\)が整数になります。
（1）nが満たす約数の条件を説明しなさい。（4点）
（2）可能なnをすべて求めなさい。（6点）
（3）与えられた式の最小値と、そのときのnをすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に148−2x、4、2x−148です。
答え：\(\boxed{148-2x,\ 4,\ 2x-148}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に4。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{72\leq x\leq76}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<4は解なし。k=4は中央全体。k>4は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<4:\text{解なし};\ k=4:72\leq x\leq76;\ k>4:x=\frac{148-k}{2},\frac{148+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(16−5184)/(76)=-68。Aを代入すると切片は288です。
答え：\(\boxed{y=(-68)x+288}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-68)t+288−t²=(t+72)(4−t)。面積は左右に分けてPQ×(76)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{76}2(t+72)(4-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+72)(4−t)=\(\frac{5776}4-(t+34)^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=54872,\ t=-34}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
三平方でBC=360。面積をAB×AC/2=BC×AH/2と表すとAH=\frac{864}{5}です。
答え：\(\boxed{BC=360,\ AH=\frac{864}{5}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABHと△CBAは直角と∠Bが等しいので相似。AB/BC=BH/AB、すなわちBH=AB²/BC=\frac{648}{5}です。
答え：\(\boxed{\frac{648}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
BP=288。HP=|BP−BH|。三平方でAP²=AH²+(BP−BH)²を計算します。
答え：\(\boxed{\frac{274752}{5}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
半径が8から4へ、高さ72で半減するので、さらに72進むと0になります。交点は(0,144)です。
答え：\(\boxed{144}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
半径8・高さ144の円すいから、半径4・高さ72の円すいを除きます。π((8)²×144−16×72)/3です。
答え：\(\boxed{2688\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
母線BC=√(5184+16)。円すいの側面積の差はπ(8×2BC−4×BC)=12πBC。上下の円の面積を足します。
答え：\(\boxed{12\pi\sqrt{5200}+80\pi}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
式はn+288/nなので、nが整数なら残る288/nも整数であることが必要十分です。つまりnは288の正の約数です。
答え：\(\boxed{n\mid 288}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
288の正の約数を小さい順に調べ、4以上という条件を満たすものを挙げます。
答え：\(\boxed{4,6,8,9,12,16,18,24,32,36,48,72,96,144,288}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a+bでab=288です。(a+b)²=(a−b)²+1152だから、差の絶対値が最小の約数の組で最小になります。(2)の約数を比べると該当するnは[16, 18]です。
答え：\(\boxed{34,\ n=16,18}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。