開成高等学校対策 数学模擬試験 第055回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{6}{x}=74\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{36}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{216}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{1296}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=136cm、BC=12cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=408となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(136,0)、C(136,12)、D(0,12)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 回転体・円すいの差と相似（20点）
直角台形ABCDをA(0,0)、B(12,0)、C(6,68)、D(0,68)とします。直線ADの周りに1回転します。
（1）BCを延長した直線とADの交点のy座標を求めなさい。（4点）
（2）回転体の体積を求めなさい。（6点）
（3）上下の底面を含む表面積を求めなさい。（10点）
第5問 2回の抽出・順序と条件付き数え上げ（20点）
1から74までの整数を1枚ずつ書いた74枚のカードがあります。1枚を引き、戻して混ぜてからもう1枚引きます。1回目をa、2回目をbとします。
（1）a+b=143である確率を求めなさい。（4点）
（2）abが偶数である確率を求めなさい。（6点）
（3）a≠bであると分かったとき、a+b=143である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+12+36/x²=5476です。
答え：\(\boxed{5464}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+6/x)(x²+36/x²)=x³+216/x³+6(x+6/x)なので、74×5464−6×74です。
答え：\(\boxed{403892}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+36/x²)²=x⁴+1296/x⁴+72より、5464²−72です。
答え：\(\boxed{29855224}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=12よりS=6t。BC上では底辺AD=12、高さがAB=136で一定なのでS=816です。
答え：\(\boxed{S=6t\ (0\leq t\leq136),\ S=816\ (136\leq t\leq148)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の6t=408よりt=68。BC上の値は408より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{68}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって136秒から148秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{816,\ 136\leq t\leq148}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(136−x)²+144。整理して2×136x=18640です。横の長さが縦より大きいので0<x<136を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{1165}{17}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+144=(136−x)²。よってx=(18496−144)/(2×136)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{1147}{17}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は136、高さは12なので面積は136×12/2です。
答え：\(\boxed{816}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
半径が12から6へ、高さ68で半減するので、さらに68進むと0になります。交点は(0,136)です。
答え：\(\boxed{136}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
半径12・高さ136の円すいから、半径6・高さ68の円すいを除きます。π((12)²×136−36×68)/3です。
答え：\(\boxed{5712\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
母線BC=√(4624+36)。円すいの側面積の差はπ(12×2BC−6×BC)=18πBC。上下の円の面積を足します。
答え：\(\boxed{18\pi\sqrt{4660}+180\pi}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
(a,b)は順序のある5476組。指定された和に対してaが69から74のときだけbも範囲に入り、6組です。
答え：\(\boxed{\frac{3}{2738}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
積が奇数なのは両方奇数の場合だけ。奇数は37枚なので、全体から1369組を除きます。
答え：\(\boxed{\frac{3}{4}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a≠bの組は5402組。和が指定値で同じ数になる組を(1)から除くと6組残ります。
答え：\(\boxed{\frac{3}{2701}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。