開成高等学校対策 数学模擬試験 第044回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-16|+|x-21|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<16、16≦x≦21、x>21に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=5のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=32cm、BC=10cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=80となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(32,0)、C(32,10)、D(0,10)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 円すいと内接円柱・体積の比較（20点）
底面半径5cm、高さ16cmの円すいがあります。底面を共通の平面に置き、中心軸を一致させた高さhの円柱を内接させます。0<h<16とします。
（1）円柱の半径rをhの式で表しなさい。（4点）
（2）h=\(\frac{16}{3}\)のときの円柱の体積を求めなさい。（6点）
（3）h=\(\frac{32}{3}\)のときと(2)の体積を比較し、比を求めなさい。（10点）
第5問 整式の割り算・約数と最小値（20点）
5以上の整数nについて\(\frac{n^2+80}n\)が整数になります。
（1）nが満たす約数の条件を説明しなさい。（4点）
（2）可能なnをすべて求めなさい。（6点）
（3）与えられた式の最小値と、そのときのnをすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に37−2x、5、2x−37です。
答え：\(\boxed{37-2x,\ 5,\ 2x-37}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に5。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{16\leq x\leq21}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<5は解なし。k=5は中央全体。k>5は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<5:\text{解なし};\ k=5:16\leq x\leq21;\ k>5:x=\frac{37-k}{2},\frac{37+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=10よりS=5t。BC上では底辺AD=10、高さがAB=32で一定なのでS=160です。
答え：\(\boxed{S=5t\ (0\leq t\leq32),\ S=160\ (32\leq t\leq42)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の5t=80よりt=16。BC上の値は80より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{16}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって32秒から42秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{160,\ 32\leq t\leq42}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(32−x)²+100。整理して2×32x=1124です。横の長さが縦より大きいので0<x<32を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{281}{16}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+100=(32−x)²。よってx=(1024−100)/(2×32)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{231}{16}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は32、高さは10なので面積は32×10/2です。
答え：\(\boxed{160}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
断面の相似よりr/5=(16−h)/16です。
答え：\(\boxed{r=5\left(1-\frac{h}{16}\right)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
r=\frac{10}{3}、h=\frac{16}{3}をπr²hへ代入します。
答え：\(\boxed{\frac{1600}{27}\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
hが2倍になるとrは\frac{5}{3}となり半分。したがって体積は2×(1/2)²=1/2倍です。
答え：\(\boxed{2:1}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
式はn+80/nなので、nが整数なら残る80/nも整数であることが必要十分です。つまりnは80の正の約数です。
答え：\(\boxed{n\mid 80}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
80の正の約数を小さい順に調べ、5以上という条件を満たすものを挙げます。
答え：\(\boxed{5,8,10,16,20,40,80}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a+bでab=80です。(a+b)²=(a−b)²+320だから、差の絶対値が最小の約数の組で最小になります。(2)の約数を比べると該当するnは[8, 10]です。
答え：\(\boxed{18,\ n=8,10}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。