開成高等学校対策 数学模擬試験 第028回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 定義された整数部分・不等式の境界（20点）
実数tに対し、t以下の最大の整数を[t]と書きます。[x]=13とします。
（1）xの範囲を不等式で表しなさい。（4点）
（2）[4x]のとり得る値をすべて求めなさい。（6点）
（3）[4x]=55となるxの範囲を求めなさい。（10点）
第2問 座標・距離の2乗と最小値（20点）
A(0,13)、B(8,13)、P(t,0)とします。
（1）PA²+PB²をtの式で表しなさい。（4点）
（2）PA²+PB²の最小値と、そのときのPの座標を求めなさい。（6点）
（3）PA²+PB²がその最小値より32だけ大きくなるPの座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径17cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=13cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 円すいと内接円柱・体積の比較（20点）
底面半径4cm、高さ13cmの円すいがあります。底面を共通の平面に置き、中心軸を一致させた高さhの円柱を内接させます。0<h<13とします。
（1）円柱の半径rをhの式で表しなさい。（4点）
（2）h=\(\frac{13}{3}\)のときの円柱の体積を求めなさい。（6点）
（3）h=\(\frac{26}{3}\)のときと(2)の体積を比較し、比を求めなさい。（10点）
第5問 確率と移動・最初に到達する時刻（20点）
袋に赤玉13個、白玉4個があります。数直線上の点Pは原点から出発し、袋から等確率で玉を1個引くたびに、赤なら右へ1、白なら左へ1進みます。玉は毎回袋に戻し、よく混ぜます。
（1）2回後に原点にいる確率を求めなさい。（4点）
（2）4回後の座標が0である確率を求めなさい。（6点）
（3）座標2に初めて到達するのが4回目である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
定義から13≦x<14です。
答え：\(\boxed{13\leq x<14}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
4倍すると52≦4x<56。この区間の各整数部分が実現します。
答え：\(\boxed{52,53,54,55}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
55≦4x<56を4で割ります。上端は含みません。
答え：\(\boxed{\frac{55}{4}\leq x<14}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
三平方よりPA²=t²+169、PB²=(t−8)²+169です。
答え：\(\boxed{2t^2-16t+402}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
和は\(2(t-4)^2+370\)。2乗は0以上なのでt=4で最小です。
答え：\(\boxed{370,\ P=(4,0)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2(t−4)²=32よりt−4=±4。正負の両方を採ります。
答え：\(\boxed{(0,0),\ (8,0)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=289−169=120。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{120}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{\frac{289}{13}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=289(289−169)/169。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{17}{13}\sqrt{120}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
断面の相似よりr/4=(13−h)/13です。
答え：\(\boxed{r=4\left(1-\frac{h}{13}\right)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
r=\frac{8}{3}、h=\frac{13}{3}をπr²hへ代入します。
答え：\(\boxed{\frac{832}{27}\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
hが2倍になるとrは\frac{4}{3}となり半分。したがって体積は2×(1/2)²=1/2倍です。
答え：\(\boxed{2:1}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
原点へ戻るのは赤白と白赤。各並びの確率は(13/17)×(4/17)で、2つを足します。
答え：\(\boxed{\frac{104}{289}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤の回数をhとすれば移動量2h−4=4−4よりh=2。赤の位置2個を選ぶ並びは4×3/2=6通り。各並びの確率は(13/17)²×(4/17)^2です。
答え：\(\boxed{\frac{16224}{83521}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
4回後に右へ2進むには赤3回・白1回。初めの2回が赤赤の並びは2回目で到達するので除きます。残るのは白赤赤赤、赤白赤赤の2通り。各確率は(13/17)³×(4/17)です。
答え：\(\boxed{\frac{17576}{83521}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。