開成高等学校対策 数学模擬試験 第019回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 定義された整数部分・不等式の境界（20点）
実数tに対し、t以下の最大の整数を[t]と書きます。[x]=11とします。
（1）xの範囲を不等式で表しなさい。（4点）
（2）[5x]のとり得る値をすべて求めなさい。（6点）
（3）[5x]=59となるxの範囲を求めなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−11,121)、B(11,121)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−11<t<11を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{5}{6}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(22,0)、C(22,10)、D(0,10)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 円すいと内接円柱・体積の比較（20点）
底面半径5cm、高さ11cmの円すいがあります。底面を共通の平面に置き、中心軸を一致させた高さhの円柱を内接させます。0<h<11とします。
（1）円柱の半径rをhの式で表しなさい。（4点）
（2）h=\(\frac{11}{3}\)のときの円柱の体積を求めなさい。（6点）
（3）h=\(\frac{22}{3}\)のときと(2)の体積を比較し、比を求めなさい。（10点）
第5問 整数方程式・積への変形（20点）
整数x,yはx>11、y>11を満たし、\(xy=11(x+y)+(-96)\)が成立します。
（1）(x−11)(y−11)の値を求めなさい。（4点）
（2）組(x,y)をすべて求めなさい。順序の異なる組は別とします。（6点）
（3）x+yの最小値と、そのときの組を求め、最小であることを示しなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
定義から11≦x<12です。
答え：\(\boxed{11\leq x<12}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
5倍すると55≦5x<60。この区間の各整数部分が実現します。
答え：\(\boxed{55,56,57,58,59}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
59≦5x<60を5で割ります。上端は含みません。
答え：\(\boxed{\frac{59}{5}\leq x<12}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=22、高さ=121なので面積は11³です。
答え：\(\boxed{1331}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(121−t²)/121=5/6。よってt²=\frac{121}{6}。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{11}{\sqrt{6}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=\frac{121}{6}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(22−x)²+100。整理して2×22x=584です。横の長さが縦より大きいので0<x<22を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{146}{11}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+100=(22−x)²。よってx=(484−100)/(2×22)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{96}{11}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は22、高さは10なので面積は22×10/2です。
答え：\(\boxed{110}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
断面の相似よりr/5=(11−h)/11です。
答え：\(\boxed{r=5\left(1-\frac{h}{11}\right)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
r=\frac{10}{3}、h=\frac{11}{3}をπr²hへ代入します。
答え：\(\boxed{\frac{1100}{27}\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
hが2倍になるとrは\frac{5}{3}となり半分。したがって体積は2×(1/2)²=1/2倍です。
答え：\(\boxed{2:1}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
両辺に121を加えて積にすると(x−11)(y−11)=25です。
答え：\(\boxed{25}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
x−11は25の正の約数[1, 5, 25]です。各約数dについてy−11=25/dとすれば、すべての解になります。
答え：\(\boxed{(12,36),\ (16,16),\ (36,12)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a=x−11、b=y−11とするとab=25。\((a+b)^2=(a-b)^2+100\geq100\)よりa+b≧10。等号はa=b=5で実現します。
答え：\(\boxed{32,\ (x,y)=(16,16)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。