開成高等学校対策 数学模擬試験 第017回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{3}{x}=14\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{9}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{27}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{81}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 座標・距離の2乗と最小値（20点）
A(0,11)、B(6,11)、P(t,0)とします。
（1）PA²+PB²をtの式で表しなさい。（4点）
（2）PA²+PB²の最小値と、そのときのPの座標を求めなさい。（6点）
（3）PA²+PB²がその最小値より18だけ大きくなるPの座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径14cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=11cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 直方体表面の最短経路・展開図比較（20点）
3辺がa=11cm、b=14cm、c=17cmの直方体で、向かい合う頂点をA,Gとします。AからGまで表面上だけを進みます。
（1）2面を展開した3種類の経路の長さの2乗を、a,b,cで表しなさい。（4点）
（2）そのうち最短となる経路の長さを求めなさい。（6点）
（3）なぜその展開図が最短か、a<b<cを使って説明しなさい。（10点）
第5問 2回の抽出・順序と条件付き数え上げ（20点）
1から14までの整数を1枚ずつ書いた14枚のカードがあります。1枚を引き、戻して混ぜてからもう1枚引きます。1回目をa、2回目をbとします。
（1）a+b=26である確率を求めなさい。（4点）
（2）abが偶数である確率を求めなさい。（6点）
（3）a≠bであると分かったとき、a+b=26である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+6+9/x²=196です。
答え：\(\boxed{190}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+3/x)(x²+9/x²)=x³+27/x³+3(x+3/x)なので、14×190−3×14です。
答え：\(\boxed{2618}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+9/x²)²=x⁴+81/x⁴+18より、190²−18です。
答え：\(\boxed{36082}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
三平方よりPA²=t²+121、PB²=(t−6)²+121です。
答え：\(\boxed{2t^2-12t+278}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
和は\(2(t-3)^2+260\)。2乗は0以上なのでt=3で最小です。
答え：\(\boxed{260,\ P=(3,0)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2(t−3)²=18よりt−3=±3。正負の両方を採ります。
答え：\(\boxed{(0,0),\ (6,0)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=196−121=75。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{75}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{\frac{196}{11}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=196(196−121)/121。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{14}{11}\sqrt{75}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
展開図では長方形の対角線なので、(a+b)²+c²、(a+c)²+b²、(b+c)²+a²です。
答え：\(\boxed{(a+b)^2+c^2,\ (a+c)^2+b^2,\ (b+c)^2+a^2}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
最小は(a+b)²+c²=914。三平方で正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\sqrt{914}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
3式の共通部分はa²+b²+c²。残る部分は2ab,2ac,2bcで、a<b<cならab<ac<bcです。
答え：\\(\boxed{ab<ac<bc}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
(a,b)は順序のある196組。指定された和に対してaが12から14のときだけbも範囲に入り、3組です。
答え：\(\boxed{\frac{3}{196}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
積が奇数なのは両方奇数の場合だけ。奇数は7枚なので、全体から49組を除きます。
答え：\(\boxed{\frac{3}{4}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a≠bの組は182組。和が指定値で同じ数になる組を(1)から除くと2組残ります。
答え：\(\boxed{\frac{1}{91}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。