開成高等学校対策 数学模擬試験 第003回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
平面・立体の根拠を説明し、代数と関数の条件を整理する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=20を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が100以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-4)x+32\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=4:8を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径12cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=8cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 円すいと内接円柱・体積の比較（20点）
底面半径4cm、高さ8cmの円すいがあります。底面を共通の平面に置き、中心軸を一致させた高さhの円柱を内接させます。0<h<8とします。
（1）円柱の半径rをhの式で表しなさい。（4点）
（2）h=\(\frac{8}{3}\)のときの円柱の体積を求めなさい。（6点）
（3）h=\(\frac{16}{3}\)のときと(2)の体積を比較し、比を求めなさい。（10点）
第5問 整式の割り算・約数と最小値（20点）
4以上の整数nについて\(\frac{n^2+32}n\)が整数になります。
（1）nが満たす約数の条件を説明しなさい。（4点）
（2）可能なnをすべて求めなさい。（6点）
（3）与えられた式の最小値と、そのときのnをすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
y=20−xよりxy=x(20−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+20x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{20^2-(2x-20)^2}{4}\)。整数xでは2x−20の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{100,\ (x,y)=(10,10)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=20^2-(x-y)^2\)。2乗は0以上です。よってxy≦100。差が0で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 100}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-4)x−32=(x+8)(x−4)なのでx=−8,4です。
答え：\(\boxed{A=(-8,64),\ B=(4,16)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは8と4です。
答え：\(\boxed{8:4}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の4/12だけ進むので、x=−8+4。直線の式へ代入し、y=(-4)²+32です。
答え：\(\boxed{(-4,48)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=144−64=80。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{80}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{18}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=144(144−64)/64。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{12}{8}\sqrt{80}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
断面の相似よりr/4=(8−h)/8です。
答え：\(\boxed{r=4\left(1-\frac{h}{8}\right)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
r=\frac{8}{3}、h=\frac{8}{3}をπr²hへ代入します。
答え：\(\boxed{\frac{512}{27}\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
hが2倍になるとrは\frac{4}{3}となり半分。したがって体積は2×(1/2)²=1/2倍です。
答え：\(\boxed{2:1}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
式はn+32/nなので、nが整数なら残る32/nも整数であることが必要十分です。つまりnは32の正の約数です。
答え：\(\boxed{n\mid 32}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
32の正の約数を小さい順に調べ、4以上という条件を満たすものを挙げます。
答え：\(\boxed{4,8,16,32}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a+bでab=32です。(a+b)²=(a−b)²+128だから、差の絶対値が最小の約数の組で最小になります。(2)の約数を比べると該当するnは[4, 8]です。
答え：\(\boxed{12,\ n=4,8}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。