二重根号 | 教材（レベル1）
要約
二重根号とは、平方根の中にさらに平方根が入っている形です。レベル1では、
\[
\sqrt{a+2\sqrt{b}}
\]
を
\[
\sqrt{m}+\sqrt{n}
\]
の形に直します。
関連ドリル:
1. 基本知識
次の公式を使います。
\[
(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2=m+n+2\sqrt{mn}
\]
つまり、根号の中が
\[
m+n+2\sqrt{mn}
\]
の形なら、二重根号を外して
\[
\sqrt{m}+\sqrt{n}
\]
と書けます。
2. 重要ポイント
- 外側の数は、2つの数の和になる
- 内側の根号の中は、2つの数の積になる
- 符号がプラスなら、答えもプラスでつなぐ
3. 具体例
\[
\sqrt{5+2\sqrt{6}}
\]
では、
\[
5=3+2,\quad 6=3\times2
\]
なので、
\[
\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}
\]
です。
4. よくある間違い
aとbをそのまま足し算してしまう2\sqrt{b}の 2 を見落とす- 最後に平方根を簡単にしない
5. 覚え方・コツ
「和が外の整数、積が中の根号」と考えます。
\[
\sqrt{m+n+2\sqrt{mn}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}
\]
6. 確認問題
次の二重根号を外しなさい。
（1）
\[
\sqrt{3+2\sqrt{2}}
\]
（2）
\[
\sqrt{7+2\sqrt{10}}
\]
7. 解答・解説
（1）
\[
3=2+1,\quad 2=2\times1
\]
より、
\[
\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1
\]
（2）
\[
7=5+2,\quad 10=5\times2
\]
より、
\[
\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}
\]
8. まとめ
プラス型の二重根号では、和と積に注目して2つの数を探します。