【中学数学】30秒で解ける？数学競技の定番整数問題
この問題は、
\[
x+y+xy=54
\]
を
\[
(x+1)(y+1)=55
\]
と変形できることに気付けるかがポイントです。
難易度評価
| 難易度 | 評価 |
|---|---|
| 小学校高学年 | ★★★★★（かなり難しい） |
| 中学受験 | ★★★☆☆ |
| 中学数学 | ★★☆☆☆ |
| 高校数学 | ★☆☆☆☆ |
| 数学オリンピック予選 | ★☆☆☆☆ |
どの層向け？
- 中学受験の発展問題
- 中学数学の整数問題
- 数学競技のウォーミングアップ問題
計算力は不要ですが、
\[ xy+x+y \]
を見て
\[ (x+1)(y+1)-1 \]
を思いつけるかどうかが勝負です。
そのため「知っていると30秒、知らないと10分」の典型的な競技数学問題です。
問題
正整数 x、y が
\[
x+y+xy=54
\]
を満たしている。
このとき、
\[
x+y
\]
の値を求めなさい。
ヒント①
式を見て、
\[
xy+x+y
\]
を因数分解できないか考えてみよう。
ヒント②
両辺に 1 を足してみよう。
\[
x+y+xy+1
\]
解説
両辺に 1 を足すと
\[
x+y+xy+1=55
\]
左辺は
\[
(x+1)(y+1)
\]
と因数分解できるので、
\[
(x+1)(y+1)=55
\]
55 を正整数の積で表すと
\[
55=5\times11
\]
したがって
\[
x+1=5,\quad y+1=11
\]
より
\[
x=4
\]
\[
y=10
\]
となる。
よって
\[
x+y=14
\]
答え
\[
\boxed{14}
\]
ワンポイント
整数問題では
\[
xy+x+y
\]
を見たら
\[
(x+1)(y+1)-1
\]
を思い出そう。
数学競技や中学受験で頻出のテクニックです。
タイトル案
- 30秒で解けたら数学センスあり！競技数学の定番整数問題
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