高校数学3年分 | 3 先取り編

要約

関数の変化を調べる極限・微分・積分と、複素数平面、曲線の表し方に触れます。計算しやすい例を通して、考え方をつかむ編です。

\(x\) をある数に近づけるとき、式の値がどこに近づくかを考えます。\(x=1\) を直接代入できない

\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\quad(x\ne1)

は、\(x\) を1に近づけると2に近づきます。これを \(\lim_{x\to1}(x^{2}-1)/(x-1)=2\) と書きます。

微分は、その点でのグラフの傾きを求める方法です。\(x^n\) の導関数は \(nx^{n-1}\) なので、\(y=x^3-3x\) の導関数は \(y'=3x^{2}-3\) です。

定積分は区間での変化をまとめる計算です。\(x^n\) の原始関数は \(x^{n+1}/(n+1)\)（\(n\ne-1\)）なので、

\int_0^2x^{2}\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac83

です。グラフが \(x\) 軸より上にあれば、この値はその区間の面積にもなります。

複素数 \(z=a+bi\) を平面上の点 \((a,b)\) として表します。原点からの距離を絶対値といい、\(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) です。

\(x\) と \(y\) を同じ文字 \(t\) で表す方法です。\(x=t+1,y=2t-1\) なら \(t=x-1\) から \(y=2x-3\) と直線の式に直せます。

例1（極限）

\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x-2} =\lim_{x\to2}(x+2)=\boxed{4}

例2（微分と接線） \(y=x^{2}\) の \(x=2\) における傾きは \(y'=2x\) より4。点 \((2,4)\) を通るので、接線は \(y-4=4(x-2)\)、すなわち \(y=4x-4\) です。

例3（定積分）

\int_0^1(2x+1)\,dx=\left[x^{2}+x\right]_0^1=\boxed{2}

例4（複素数平面） \(z=3+4i\) は点 \((3,4)\) を表し、\(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\) です。

例5（媒介変数） \(x=2t,y=t+3\) では \(t=x/2\) なので、\(y=x/2+3\) です。

極限は式を整え、微分は傾きを求め、積分は原始関数を両端で評価します。何を求める操作かを毎回言葉にすると、公式を選びやすくなります。

（1）\(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^{2}-9}{x-3}\) を求めなさい。

（2）\(y=x^3+2x\) の導関数を求めなさい。

（3）\(y=x^{2}\) の \(x=1\) における接線の式を求めなさい。

（4）\(\displaystyle\int_0^2(3x^{2}+1)\,dx\) を求めなさい。

（5）\(z=-1+2i\) が表す点と \(|z|\) を求めなさい。

（6）\(x=t-2,y=3t+1\) から \(t\) を消去しなさい。

（1）\(x\ne3\) では \((x^{2}-9)/(x-3)=x+3\)。よって \(\boxed{6}\)。

（2）\(x^3\) を微分すると \(3x^{2}\)、\(2x\) を微分すると2なので \(\boxed{y'=3x^{2}+2}\)。

（3）点は \((1,1)\)、傾きは \(y'=2x\) から2。\(y-1=2(x-1)\) より \(\boxed{y=2x-1}\)。

（4）原始関数は \(x^3+x\)。\([x^3+x]_0^2=8+2=\boxed{10}\)。

（5）点は \(\boxed{(-1,2)}\)。\(|z|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\boxed{\sqrt5}\)。

（6）\(t=x+2\) を代入して \(y=3(x+2)+1\)。よって \(\boxed{y=3x+7}\)。

極限・微分・積分は、関数を「近づく値」「その場の傾き」「区間全体の変化」から見る方法です。複素数や媒介変数も、点と曲線に結び付けると理解しやすくなります。