高校数学3年分 | 先取り編ドリル
問題
関連教材: 先取り編
各6点、合計60点。途中式も書きましょう。
基本問題
- \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}\) を求めなさい。
- \(y=x^3-2x\) の導関数を求めなさい。
- \(\displaystyle\int_0^3 2x\,dx\) を求めなさい。
- \(z=2-2i\) が表す点と \(|z|\) を求めなさい。
- \(x=t+2,y=2t+3\) から \(t\) を消去しなさい。
応用問題
- \(\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}+3x+2}{x+1}\) を求めなさい。
- \(y=x^{2}+1\) の \(x=2\) における接線の式を求めなさい。
- \(\displaystyle\int_1^2(3x^{2}-2x)\,dx\) を求めなさい。
- \(z=1+i\) の \(z^2\) と \(|z|\) を求めなさい。
- \(0\leq x\leq2\) で、曲線 \(y=x(2-x)\) と \(x\) 軸で囲まれる部分の面積を求めなさい。
解答・解説
- \(x\ne1\) では \((x^{2}-1)/(x-1)=x+1\)。よって \(\boxed{2}\)。
- \(x^3\) の導関数は \(3x^{2}\)、\(-2x\) の導関数は \(-2\)。\(\boxed{y'=3x^{2}-2}\)。
- \([x^{2}]_0^3=9-0=\boxed{9}\)。
- 点は \(\boxed{(2,-2)}\)。\(|z|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\boxed{2\sqrt2}\)。
- \(t=x-2\) から \(y=2(x-2)+3=\boxed{2x-1}\)。
- \(x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)\)。\(x\ne-1\) では式は \(x+2\) なので \(\boxed{1}\)。
- 点は \((2,5)\)、傾きは \(y'=2x\) より4。\(y-5=4(x-2)\) なので \(\boxed{y=4x-3}\)。
- 原始関数は \(x^3-x^{2}\)。\([x^3-x^{2}]_1^2=(8-4)-(1-1)=\boxed{4}\)。
- \((1+i)^2=1+2i+i^2=\boxed{2i}\)。\(|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\boxed{\sqrt2}\)。
- この区間で \(x(2-x)\geq0\) なので面積は定積分で求められます。
\[ \int_0^2(2x-x^{2})\,dx =\left[x^{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 =4-\frac83=\boxed{\frac43} \]